Calcolo differenziale- iperpiano tangnete

[gcan]

qual è la definizione di iperpiano tangente? (se possibile, SEMPLIFICATA!)
grazie in anticipo

[Noisemaker]

Consideriamo il caso bidimensionale , cioè poniamoci nel piano $\RR^2.$ Diciamo che $f$ è differenziabile in $P_0,$ dove $P_0(x_0;y_0 ),$ se esiste un vettore $(\alpha ,\beta )\in \RR^2$ tale che
\begin{align}
\lim_{P\to P_0}\frac{f(P)-\left(f(P_0)+\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)\right)}{||P-P_0||}=0,
\end{align}
pertanto una funzione è differenziabile se
\begin{align}
f(P)= f(P_0)+\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0)+o\left(||P-P_0||\right).
\end{align}
Questa proprietà si esprime dicendo che $f(P)$ si può approssimare con una funzione lineare affine
\begin{align}
T(P)= f(P_0)+\alpha(x-x_0)+\beta(y-y_0),
\end{align}
a meno di un infinitesimo $o(||P-P_0||)$ di ordine superiore al primo rispetto la norma $ ||P-P_0||.$ Allora la funzione $T(P)$ definisce piano tangente al grafico di $f$ nel punto $P_0.$ Inolte, se $f$ è differenziabile in $P_0$ allora $f$ è anche derivabile parzialmente e si può verificare che risulta
\begin{align}
\alpha = f_x\left(P_0\right),\qquad \beta = f_y\left(P_0\right),
\end{align}
pertanto il piano tangente al grafico di una funzione $f$ in $P_0$ è dato da
\begin{align}
T(P)= f(P_0)+f_x\left(P_0\right)(x-x_0)+f_y\left(P_0\right)(y-y_0).
\end{align}