Calcolo differenziale funzione due variabili valore assoluto e logaritmo
Buonasera a tutti, martedì ho l'esame di Analisi 2 e ho qualche problema nella risoluzione di un esercizio in particolare (già so che saranno sviste stupidissime, non linciatemi 
)
Vi scrivo la traccia:
Data la funzione
f(x,y)=(ln(1+y))*(|x-1|)^3 (valore assoluto al cubo di (x-1) * logaritmo naturale di (1+y), nel caso non si capisse)
I. determinare il dominio e studiare, utilizzando la definizione, l'eventuale derivabilità (parziale) di f in (1,0);
II. studiare l'eventuale differenziabilità di f in (1,0) (mediante la definizione e l'utilizzo delle coordinate polari);
III. dire, giustificando la risposta, se è possibile determinare l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto di coordinate (1,0,0) ed, in caso affermativo, scrivere tale equazione.
Mi scuso anticipatamente per non aver scritto le formule matematiche in maniera così "blanda", ma TeX non so usarlo, prometto che imparerò in fretta!
Vi ringrazio anticipatamente, un abbraccio e buona domenica!
) Vi scrivo la traccia:
Data la funzione
f(x,y)=(ln(1+y))*(|x-1|)^3 (valore assoluto al cubo di (x-1) * logaritmo naturale di (1+y), nel caso non si capisse)
I. determinare il dominio e studiare, utilizzando la definizione, l'eventuale derivabilità (parziale) di f in (1,0);
II. studiare l'eventuale differenziabilità di f in (1,0) (mediante la definizione e l'utilizzo delle coordinate polari);
III. dire, giustificando la risposta, se è possibile determinare l'equazione del piano tangente al grafico di f nel punto di coordinate (1,0,0) ed, in caso affermativo, scrivere tale equazione.
Mi scuso anticipatamente per non aver scritto le formule matematiche in maniera così "blanda", ma TeX non so usarlo, prometto che imparerò in fretta!
Vi ringrazio anticipatamente, un abbraccio e buona domenica!
Risposte
Benvenuto nel forum.
Riguardo all'esercizio, puoi intanto cominciare a dire cos'hai provato a fare.
Riguardo all'esercizio, puoi intanto cominciare a dire cos'hai provato a fare.
Giusto!
Il realtà il primo dubbio si presenta di fronte lo studio del valore assoluto elevato al cubo! So che nel caso di funzioni elevate ad un numero dispari non abbiamo restrizioni di alcun tipo, ma se abbiamo il valore assoluto bisogna studiare separatamente la funzione |f(x)| quando f(x)>=0 e f(x)<0. La domanda è quindi, che fare?!
Ho controllato la funzione su wolframalpha, e il dominio è: {(x,y) ∈ R^2 : 1+y>0} quindi a detta sua, bisogna considerare il primo fattore come una funzione elevata al cubo, senza considerare il valore assoluto. E' corretto?
Procedendo nello svolgimento, calcolando la derivata parziale rispetto x nel punto (1,0) arrivo a lim h->0 (|h|^3)/h, ma è un limite che non esiste, vero? (tenendo conto di lim x->0 |x|/x)
Il realtà il primo dubbio si presenta di fronte lo studio del valore assoluto elevato al cubo! So che nel caso di funzioni elevate ad un numero dispari non abbiamo restrizioni di alcun tipo, ma se abbiamo il valore assoluto bisogna studiare separatamente la funzione |f(x)| quando f(x)>=0 e f(x)<0. La domanda è quindi, che fare?!
Ho controllato la funzione su wolframalpha, e il dominio è: {(x,y) ∈ R^2 : 1+y>0} quindi a detta sua, bisogna considerare il primo fattore come una funzione elevata al cubo, senza considerare il valore assoluto. E' corretto?
Procedendo nello svolgimento, calcolando la derivata parziale rispetto x nel punto (1,0) arrivo a lim h->0 (|h|^3)/h, ma è un limite che non esiste, vero? (tenendo conto di lim x->0 |x|/x)
"abbellone":
Ho controllato la funzione su wolframalpha, e il dominio è: {(x,y) ∈ R^2 : 1+y>0} quindi a detta sua, bisogna considerare il primo fattore come una funzione elevata al cubo, senza considerare il valore assoluto. E' corretto?
No. La funzione \(h(x) = |x-1|^3\) è definita su tutto \(\mathbb{R}\), ma non è uguale a \((x-1)^3\), per il semplice fatto che quest'ultima è negativa quando \(x<1\) mentre \(h\) è sempre \(\geq 0\).
Procedendo nello svolgimento, calcolando la derivata parziale rispetto x nel punto (1,0) arrivo a lim h->0 (|h|^3)/h, ma è un limite che non esiste, vero? (tenendo conto di lim x->0 |x|/x)
Sbagliato. Vedi subito che \(|h|^3 = h^2 |h|\), quindi \(|h|^3 / h = h |h|\), che tende a \(0\) per \(h\to 0\).
L'avevo detto io che erano errori banali 
per quanto riguarda la differenziabilità, utilizzo la definizione, che dice che
$ lim_((h,k) -> (0,0)) (|h|^3ln(1+k)-0*h-1*k-0)/sqrt(h^2+k^2)=0 $
Utilizzando le coordinate polari, avrò
$ lim_(rho -> 0) (|rhocostheta|^3ln(1+rhosintheta)-rhosintheta)/rho $
mettendo in evidenza e semplificando avrò
$ lim_(rho->0) rho|rho||costheta|^3ln(1+rhosintheta)-sintheta = -sintheta $ , soluzione possibile solo se $ sintheta=0rArr theta=0°+ kpi vv theta=pi + kpi $ , corretto?
per il terzo ed ultimo punto, utilizzo la formula $ z=f(x0,y0)+df/dx(x0,y0)(x-x0)+df/dy(x0+y0)(y-y0) $ e avrò $ z=y $, giusto?
...non avevo notato che in basso c'era l'opportunità di poter scrivere tutte le formule senza alcun problema
per quanto riguarda la differenziabilità, utilizzo la definizione, che dice che
$ lim_((h,k) -> (0,0)) (|h|^3ln(1+k)-0*h-1*k-0)/sqrt(h^2+k^2)=0 $
Utilizzando le coordinate polari, avrò
$ lim_(rho -> 0) (|rhocostheta|^3ln(1+rhosintheta)-rhosintheta)/rho $
mettendo in evidenza e semplificando avrò
$ lim_(rho->0) rho|rho||costheta|^3ln(1+rhosintheta)-sintheta = -sintheta $ , soluzione possibile solo se $ sintheta=0rArr theta=0°+ kpi vv theta=pi + kpi $ , corretto?
per il terzo ed ultimo punto, utilizzo la formula $ z=f(x0,y0)+df/dx(x0,y0)(x-x0)+df/dy(x0+y0)(y-y0) $ e avrò $ z=y $, giusto?
...non avevo notato che in basso c'era l'opportunità di poter scrivere tutte le formule senza alcun problema
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