Calcolo di $|z|^2z^2=i$
Salve, dovrei calcolare l'equazione in $CC$ [tex]|z|^2\times z^2=i[/tex].
Ho iniziato prendendo i moduli dell'equazione:
[tex]||z|^2z^2|=|i|[/tex]
poi ho considerato che
[tex]||z|^2 \times z^2|=|z|^2|z^2|=|z|^2 \times |z \times z|=|z|^2 \times |z| \times |z|=|z|^4[/tex] e [tex]|i|=1[/tex]
quindi [tex]||z|^2z^2|=|i|[/tex] equivale a:
[tex]|z|^4=1[/tex] $\Rightarrow$ [tex]|z|=1[/tex]
Ma poi come posso concludere?
O esiste una strada più semplice (non geometrica).
Ho iniziato prendendo i moduli dell'equazione:
[tex]||z|^2z^2|=|i|[/tex]
poi ho considerato che
[tex]||z|^2 \times z^2|=|z|^2|z^2|=|z|^2 \times |z \times z|=|z|^2 \times |z| \times |z|=|z|^4[/tex] e [tex]|i|=1[/tex]
quindi [tex]||z|^2z^2|=|i|[/tex] equivale a:
[tex]|z|^4=1[/tex] $\Rightarrow$ [tex]|z|=1[/tex]
Ma poi come posso concludere?
O esiste una strada più semplice (non geometrica).
Risposte
Io scriverei tutto in forma trigonometrica, molto più utile quando procedi con le potenze e le moltiplicazioni: se [tex]$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$[/tex] allora
[tex]$i=\rho^2\cdot \rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))$[/tex]
da cui equagliando parte reale e coefficiente dell'immaginario
[tex]$\rho^4\cos(2\theta)=0,\ \ \rho^4\sin(2\theta)=1$[/tex]
[tex]$i=\rho^2\cdot \rho^2(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))$[/tex]
da cui equagliando parte reale e coefficiente dell'immaginario
[tex]$\rho^4\cos(2\theta)=0,\ \ \rho^4\sin(2\theta)=1$[/tex]
Sto provando a guardarla scrivendola in forma algebrica,$z=x+iy$, chissà se riesco ad utilizzare la regola che mi dice che $|z|^2=Re(z)^2+Im(z)^2$
vediamo se arrivo da qualche parte..se ti riesce posta COSI vediamo visto che mi sto occupando di complessi anch'io!:)
vediamo se arrivo da qualche parte..se ti riesce posta COSI vediamo visto che mi sto occupando di complessi anch'io!:)
Secondo me viene ancora meglio se scrivi tutto in notazione euleriana tipo
$\rho^2 * \rho^2e^(i(2\theta)) = 1 * e^(i(\pi/2))$
A quel punto ti viene a sistema $Mod(z)=1^(1/4)$ e $Arg(z)=\pi/4+k\pi$
sbaglio?
$\rho^2 * \rho^2e^(i(2\theta)) = 1 * e^(i(\pi/2))$
A quel punto ti viene a sistema $Mod(z)=1^(1/4)$ e $Arg(z)=\pi/4+k\pi$
sbaglio?
@ciampax in forma trigonometrica: $\rho $ sarebbe $|z|$ giusto?e $\teta $ e' uguale all' $arctan 1$ ?e' COSI?
altrimenti se non hai voglia di ragionare imposta con $z=a+bi$
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
"barabbo":
altrimenti se non hai voglia di ragionare imposta con $z=a+bi$
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
Perché : [tex]z^2[/tex] fa [tex](a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)[/tex] ?
non sarebbe $ z^2= a^2+i^2b^2+2aib$ ?
il metodo piu veloce e semplice per quest esercizio e quello che ha detto shatteringlass perche
$ ρ^2⋅ρ^2e^(i(2θ))=1⋅e^(i(π/2))$
che diventa
ρ^4=1 =ρ=1
2θ=(π/2)+2kπ =θ=π/4+kπ
$ ρ^2⋅ρ^2e^(i(2θ))=1⋅e^(i(π/2))$
che diventa
ρ^4=1 =ρ=1
2θ=(π/2)+2kπ =θ=π/4+kπ
"Argentino":
[quote="barabbo"]altrimenti se non hai voglia di ragionare imposta con $z=a+bi$
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
Perché : [tex]z^2[/tex] fa [tex](a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)[/tex] ?[/quote]
E' $|z|^2=a^2+b^2$ e $z^2=a^2-b^2+2iab$. Quindi, l'equazione diventa quella che aveva detto barabbo.
@obelix23: non si leggono i simboli che hai scritto, non so se dipende dal computer mio. Comunque per le lettere greche, si usa \rho, \theta, ecc. (ovviamente fra i simboli di dollaro)
"Antimius":
[quote="Argentino"][quote="barabbo"]altrimenti se non hai voglia di ragionare imposta con $z=a+bi$
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
Perché : [tex]z^2[/tex] fa [tex](a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)[/tex] ?[/quote]
E' $|z|^2=a^2+b^2$ e $z^2=a^2-b^2+2iab$. Quindi, l'equazione diventa quella che aveva detto barabbo.
[/quote]
Ok, proseguendo trovo:
$(a^2+b^2)(a^2-b^2+2abi)=i$
$a^4-a^2 b^2+2ia^3 b+a^2 b^2-b^4+2iab^3=i$
Semplifico
$a^4+2ia^3 b-b^4+2iab^3=i$
Ma poi come posso fare... separo la parte reale da quella immaginaria?
Sì, prova, poi eguaglia parte reale e immaginaria a zero. Dovresti risolvere.
"Antimius":
Sì, prova, poi eguaglia parte reale e immaginaria a zero. Dovresti risolvere.
Procedendo:
$a^4 - b^4 =0$
$a^4=b^4$
Metto entrambe sotto radice quarta e ottengo:
$a=b$
Per la parte immaginaria ottengo:
$i-2ia^3 b-2iab^3 =0$
Ma cosa posso fare?
Intanto io scriverei la seconda equazione $i(1-2a^3b-2ab^3)=0hArr1-2a^3b-2ab^3=0$. Ricordati comunque che $a,binRR$.
Per quanto riguarda la prima equazione, hai $|a|=|b|$.
Ora, distinguerei il caso $a=b$ e quello $a=-b$. A questo punto si tratta di risolvere un sistema a valori reali.
Per quanto riguarda la prima equazione, hai $|a|=|b|$.
Ora, distinguerei il caso $a=b$ e quello $a=-b$. A questo punto si tratta di risolvere un sistema a valori reali.
"Antimius":
Intanto io scriverei la seconda equazione $i(1-2a^3b-2ab^3)=0hArr1-2a^3b-2ab^3=0$. Ricordati comunque che $a,binRR$.
Per quanto riguarda la prima equazione, hai $|a|=|b|$.
Ora, distinguerei il caso $a=b$ e quello $a=-b$. A questo punto si tratta di risolvere un sistema a valori reali.
Forse ci sono riuscito:
$\{(a=b),(1-2a^3b-2ab^3=0):}$ $vv$ $\{(a=-b),(1-2a^3b-2ab^3=0):}$
$\{(a=b),(1-2b^4-2b^4=0):}$ $vv$ $\{(a=-b),(1+2b^4+2b^4=0):}$
$\{(a=b),(-4b^4=-1):}$ $vv$ $\{(a=-b),(4b^4=-1):}$
$b^4=1/4$ $vv$ $b^4=-(1/4)$
$b=1/root(4)(4)$ $vv$ $b=root(4)(-(1/4))$ $rArr$ $b=i/root(4)(4)$
Dovrebbe essere giusto, vero?
Attento: $a,binRR$! Le soluzioni reali al primo sistema sono $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
Il secondo sistema ovviamente non ha soluzioni reali.
In definitiva, ti vengono due soluzioni in $CC$ dell'equazione di partenza.
In alternativa, potresti scrivere in forma esponenziale e risolvi più velocemente: $\rho*e^(2i\theta-i*\pi/2)=1$ Perciò, $\rho=1$ e $\theta_k=\pi/4+k\pi$, $k=1,2$. Perciò le due soluzioni saranno $z=\rho*e^(i\theta_k)$, $k=1,2$ infatti sono le stesse trovate.
Il secondo sistema ovviamente non ha soluzioni reali.
In definitiva, ti vengono due soluzioni in $CC$ dell'equazione di partenza.
In alternativa, potresti scrivere in forma esponenziale e risolvi più velocemente: $\rho*e^(2i\theta-i*\pi/2)=1$ Perciò, $\rho=1$ e $\theta_k=\pi/4+k\pi$, $k=1,2$. Perciò le due soluzioni saranno $z=\rho*e^(i\theta_k)$, $k=1,2$ infatti sono le stesse trovate.
"Antimius":
Attento: $a,binRR$! Le soluzioni reali al primo sistema sono $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ e $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$.
Non capisco perché non è $b=1/root(4)(4)$...
$b=1/root(4)(4)$ $hArr$ $(1/sqrt(2),1/sqrt(2))$ $vv$ $(-1/sqrt(2),-1/sqrt(2))$?
$1/(root(4)(4))=1/sqrt(2)$ 
Soltanto che devi considerare anche la soluzione negativa. Scrivendo tra parentesi intendevo che la coppia $(a,b)=$... ecc.
Soltanto che devi considerare anche la soluzione negativa. Scrivendo tra parentesi intendevo che la coppia $(a,b)=$... ecc.
"Antimius":
$1/(root(4)(4))=1/sqrt(2)$
Sìsì avevo quasi capito giusto
, grazie mille a tutti!
Di niente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo