Calcolo di una serie con n!

[nunziox]

Data la $ sum((-1)^n*((n^2+sin(n))/(n! + n -log(n))))) $ studiarne il carattere.
Ho una serie a segni alterni.. vorrei studiarne il carattere applicando il criterio di Leibniz I ma data la presenza del !n non so come dimostrare che il termine generale sia monotono decrescente.

[Lorin1]

guarda che non puoi derivare una successione...

[nunziox]

È una serie di cui devo dimostrare la decrescenZa... In modo da poter applicare laibniz I..non l ho scritto ma il tutto è moltiplicato per $(-1)^n$ come faccio ?

[ciampax]

nunziox, mi associo a Lorin nel dirti una cosa: se ti chiedi come derivare $n!$ ciò implica che non hai idea né di cosa sia una derivata, né di cosa sia una successione.
Prima di chiedere, faresti meglio a studiare.
Inoltre, come ti rendi conto da solo, la tua domanda, oltre ad essere mal posta nel senso che "non sai di cosa stai parlando", lo è anche nel senso che "quello che vuoi capire è come verificare l'eventuale convergenza di una serie".

Tra l'altro, volendo applicare Leibniz (non laibniz!), devi prima verificare che tutto quello che resta tolto $(-1)^n$ (e quindi, se capisco il tuo contorto messaggio, quella frazione di cui al primo post) risulti 1) positivo, 2) infinitesimo (convergente a zero).

A questo punto, mi chiedo se tu voglia derivare quella roba per
a) applicare de l'Hopital
b) determinare massimi e minimi

e allora, in entrambi i casi, ritorniamo a ciò che dicevo prima: hai una successione, non è possibile derivare!

Detto questo, secondo regolamento devi essere tu a suggerire un metodo. Io ti ho detto quali sono le prime due cose da fare per vedere se il Criterio di Leibniz sia applicabile. Ora dimmi come dimostri che quella frazione è positiva e infinitesima.

[nunziox]

Grazie per la risposta ciampax.

Adesso ripeto:
Volendo applicare Leibniz I, devo assicurarmi che sia.

a(n) > 0
a(n+1)
Quindi la serie non può divergere.

Inoltre se a(n)->0 CONVERGE!

Per assicurarmi che il termine generale a(n) sia monotono decrescente posso fare la derivata o in alternativa posso studiare il rapporto $((a(n+1))/(a(n)))$ nel caso questo sia <=1 la funzione è decrescente.

Adesso mi si è presentata una serie in cui al denominatore c'è il !n come dimostro che la funzione è monotona decrescente? In questo caso non posso farne la derivata?

[ciampax]

"nunziox":Grazie per la risposta ciampax.

Adesso ripeto:
Volendo applicare Leibniz I, devo assicurarmi che sia.

a(n) > 0
a(n+1)[ciampax hai dimenticato questo dettaglio]

Quindi la serie non può divergere.

Inoltre se a(n)->0 CONVERGE!

Per assicurarmi che il termine generale a(n) sia monotono decrescente posso fare la derivata o in alternativa posso studiare il rapporto $((a(n+1))/(a(n)))$ nel caso questo sia <=1 la funzione è decrescente.

Adesso mi si è presentata una serie in cui al denominatore c'è il !n come dimostro che la funzione è monotona decrescente? In questo caso non posso farne la derivata?

nunziox caro:
1) non me lo sono dimenticato... ma non ha senso fare la cosa più complessa del Teorema se prima non verifichi le cose più semplici!
2) allora mi sa che non hai capito che se parli ancora di derivata, chiamo il tuo docente e gli dico di bocciarti senza neache correggerti il compito
3) ok, ho perso la voglia di cercare di spiegarti che prima devi studiare. Mi auguro tu non sia un mio studente, perché se lo sei, giuro che quando ti presenti all'esame ti stacco la testa a morsi.

P.S.: non sopporto chi fa del sarcasmo quando gli viene dato un consiglio. Per cui, sinceramente, per quanto mi riguarda tornerò a risponderti quando avrai imparato come si studia e come ci si comporta. Buona serata.

P.P.S.: in ogni caso continui a dire un sacco di fesserie e non ti sei neanche degnato di cercare di dare una risposta ai due quesiti che ti ho posto, per cui ARRANGIATI!

[Lorin1]

Sono d'accordo ù_ù

[nunziox]

Ciampax mi scuso apertamente con lei ma mi sono sentito offeso nella sua precedente risposta.
!n non è derivabile perché non esiste la tangente al grafico della funzione?

Adesso nel caso ci sia una serie in cui non figura !n posso fare la derivata? io ricordo che durante il corso il prof.
poneva $ fi(y) = a(n) $ sostituendo la n con y e ne faceva la derivata.

Sto facendo un po di confusione?


Adesso provo a dimostrare che il termine generale è >0 e che il lim del termine generale ->0

[Lorin1]

$n!$ non è derivabile perchè $n in NN$ che ha come unico punto di accumulazione $+oo$, quindi non puoi proprio definire il concetto ne di limite in un punto ne tanto meno di derivata (visto che si esprime tramite il limite). Quando vuoi applicare il criterio di Leibnitz è come se in un certo senso sposti il tuo problema dalle successioni alle funzioni facendo il passaggio che ha fatto il tuo professore.

[ciampax]

@Lorin: è Leibniz, non Leibnitz!
nunziox: riguardati la definizione di derivata perché mi sembra che tu non sappia proprio cosa sia. E inoltre togliti dalla testa di usarla per risolvere un esercizio sulle serie: rischi di essere "ucciso psicologicamente" dal docente che corregge una cosa del genere!

[nunziox]

La ringrazio:)

Adesso volendo dimostrare che il termine generale sia positivo ho fatto il seguente ragionamento.
Analizzando prima il numeratore e poi il denominatore del termine generale.

$n^2> - sin(n)$ per ogni $n>1$
quindi anche al denominatore
$n! + n > log(n)$ per ogni $n>1$ (ho pensato che il fattoriale cresce più di log(n) al tendere di n->oo )

quindi a(n)>0
per n>1.

Adesso faccio il limite del termine generale:

$lim_(n->oo)((n^2+sin(n))/(n!+n-log(n)))$ ~ $lim_(n->oo)((n^2)/(n!+n-log(n)))=0$

errori?

P.S:
Ciampax riguardo subito la definizione di derivata:)

[nunziox]

Adesso come dimostro la decrescenza? Studiando il rapporto a(n+1)/a(n)???

[ciampax]

Può essere un'idea. Un'altra via è quella di stabilire cosa sia $a_{n+1}-a_n$ e far vedere che è negativo (per ottenere la decrescenza).

[nunziox]

Se provo a dimostrare che il rapporto dei $(a(n+1))/(a(n))<1$
ottengo:

$(n!+n-log(n))/((n+1)!+(n+1)-log(n))<1$

che moltiplica

$((n+1)^2+sin(n+1))/(n^2+sin(n))>1$

Una qualcosa $>1$ moltiplicato per qualcosa $<1$..eeh bo.. credo di non poter concludere nulla!

Se provo a dimostrare che $a(n)-a(n+1)<0$

$((n+1)^2+sin(n+1))/((n+1)!+(n+1)-log(n+1))-(n^2+sin(n))/(n!+n-log(n))$

come faccio a dimostrare che la seconda frazione è più grande..???

$n^2+sin(n)<(n+1)^2+sin(n+1)$
ma
$(n!+n-log(n))<(n+1)!+(n+1)-log(n+1)$

quindi le cose si bilanciano cosa posso dire? Cosa mi sfugge?

[nunziox]

come faccio?

[gugo82]

Come al solito, basta che vediate un \((-1)^n\) e subito vi mettete a complicarvi la vita con Leibniz...

L'esercizio si risolve così in due parole.
La successione degli addendi è infinitesima d'ordine infinitamente grande, ergo essa converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico.

[nunziox]

dici considerando la serie in valore assoluto?