Calcolo di una primitiva

[Obidream]

Salve a tutti, dopo aver calcolato le primitive di $1/sinx$ ho provato a calcolare $\int 1/cosx dx$, incontrando qualche problema..
Ecco come ho pensato di procedere:

$\int 1/cosx dx$

Pongo $t=tg(x/2)$ quindi $x=2arctg(t)$ e $dx=2/(1+t^2)dt$, ricordando che per $t=tg(x/2)$ $cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$

$\int (1+t^2)/(1-t^2)*2/(1+t^2) dt$

$\int 2/(1-t^2)dt$

$2\int 1/((1-t)(1+t)) dt$

$2\int 1/(1-t)*1/(1+t) dt$

Quindi cerco due numeri per avere un integrale del tipo:

$\int A/(1+t)dt+\int B/(1-t)dt$

$A=1/(1-x)$ con $x->-1$ è uguale ad: $A=-1/2$

$B=1/(1+x)$ con $x->+1$ è uguale ad : $B=1/2$

Quindi:

$2*-1/2\int 1/(1+t) dt +2*1/2\int 1/(1-t) dt$

$-ln(1+t)+ln(1-t) +c$

$ln(1-tg(x/2))-ln(1+tg(x/2))+c$

Il risultato dovrebbe essere questo però non saprei come tirarlo fuori dalla primitiva che ho ottenuto io quindi penso di aver sbagliato qualcosa
$-log(cos(x/2) - sin(x/2)) + log(cos(x/2) + sin(x/2))$

[gugo82]

Basta mettere in evidenza il coseno nei due logaritmi e ricordare che il logaritmo di un prodotto è la somma dei logaritmi dei suoi fattori.

[Obidream]

Ecco l'errore... ho sbagliato a calcolare i coefficienti A e B
$\int 1/((1-t)(1+t)) dt$

$1/((1-t)(1+t))=A/(1-t)+B(1+t)$

$1=A(1+t)+B(1-t)$

$1=A+B+t(A-B)$

$\{(A-B=0),(A+B=1):}$ quindi $A=B=1/2$

$1/2\int dt/(1+t)+1/2\int dt/(1-t)$

$1/2(ln|1+t|-ln|1-t|)+c$

Quindi sostituendo nel primo post:

$ln|1+tg(x/2)|-ln|1-tg(x/2)|+c$ che se derivata mi da $1/cosx$