Calcolo di una base ortonormale di un dato sottospazio

[Structure]

Salve a tutti,

ho il seguente esercizio da risolvere e una domanda di concetto su base di un sottospazio:

Esercizio:
Siano $w1 = (1, 1, 1, −1)^T$, $w_2 = (−1, 0, 1, 1)^T$, $w_3 = (0, 2, 4, 0)^T$ e $w_4 = (1, 2, 3, −3)^T$ quattro vettori in $RR^4$. Trovate con l'aiuto del metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt una base ortonormale del sottospazio W generato dai quattro vettori w1, w2, w3 e w4.
Qual è la dimensione di W? Calcolate anche la proiezione di $v = (1, −2, 1, 0)^T$ su W. Cosa potete osservare?

Ora, è chiaro che la dimensione di W è 3 perché $w_3$ è combinazione lineare di $w_1$ e $w_2$ ($w_3 = 2*w_1 + 2*w_2$), ma questo significa che la base di W da costruire sarà composta da 3 vettori in 4 componenti? O una componente è superflua?

[feddy]

Non ho guardato i conti. Comunque sì, in tal caso avresti un sottospazio di $RR^4$ di dimensione 3. L'esercizio è abbastanza guidato: una volta trovata una base ortonormale $\{ \tilde{w}_1,\tilde{w}_2,\tilde{w}_3\}$ con Gram-Schmidt poi devi solamente applicare la formula della proiezione e avrai che $\Pi_{W}(v)= \sum_{i=1}^{3} \langle v,\tilde{w_i} \rangle tilde{w_i}$

[Bokonon]

"Structure":Salve a tutti,
Qual è la dimensione di W? Calcolate anche la proiezione di $v = (1, −2, 1, 0)^T$ su W. Cosa potete osservare?

E senza manco fare conti, osservo che la proiezione sarà zero perchè $v$ è ortogonale ai vettori $w_i$.