Calcolo di un volume-Analisi II
Salve ragazzi, non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Calcolare il volume della regione T racchiusa dalle superfici $((x^2+y^2)/a^2)^2+z/b=1$, $z=0$, dove a e b sono due parametri reali positivi.
Non riesco proprio a capire cosa rappresenti la prima superficie e come impostare l'integrale triplo. Confido nel vostro aiuto.
Calcolare il volume della regione T racchiusa dalle superfici $((x^2+y^2)/a^2)^2+z/b=1$, $z=0$, dove a e b sono due parametri reali positivi.
Non riesco proprio a capire cosa rappresenti la prima superficie e come impostare l'integrale triplo. Confido nel vostro aiuto.
Risposte
Prova a vedere se ti è più chiaro una volta che isoli la $z$.
$\V=\int \int \int_{D} dxdydz$ dove $\D={(x,y,z) \in RR^3 : (x^2+y^2)^2/a^2+z/b=1, z<=0, a,b \in RR}$, ossia il volume della porzione del solido, compresa tra $\-b$ e $\0$.
Quindi integrando per sezioni
$\V=\int_-b^0 dz \int \int_{A} dxdy$ dove $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=a^2(1-z/b)^2}$ ossia ciascuna delle sezioni circolari del solido al variare di z.
Osservando che $\int \int_{A} dxdy = Area(A)$ e l'area di A è $\ pi*raggio^2$ quindi si ha $\V=\int_-b^0 pi*a^2(1-z/b)^2 dz= 7/3pi*a^2*b$
Quindi integrando per sezioni
$\V=\int_-b^0 dz \int \int_{A} dxdy$ dove $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=a^2(1-z/b)^2}$ ossia ciascuna delle sezioni circolari del solido al variare di z.
Osservando che $\int \int_{A} dxdy = Area(A)$ e l'area di A è $\ pi*raggio^2$ quindi si ha $\V=\int_-b^0 pi*a^2(1-z/b)^2 dz= 7/3pi*a^2*b$
"Lawlietz":
$\V=\int \int \int_{D} dxdydz$ dove $\D={(x,y,z) \in RR^3 : (x^2+y^2)^2/a^2+z/b=1, z<=0, a,b \in RR}$, ossia il volume della porzione del solido, compresa tra $\-b$ e $\0$.
Quindi integrando per sezioni
$\V=\int_-b^0 dz \int \int_{A} dxdy$ dove $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=a^2(1-z/b)^2}$ ossia ciascuna delle sezioni circolari del solido al variare di z.
Osservando che $\int \int_{A} dxdy = Area(A)$ e l'area di A è $\ pi*raggio^2$ quindi si ha $\V=\int_-b^0 pi*a^2(1-z/b)^2 dz= 7/3pi*a^2*b$
Grazie mille per avermi risposto. Non mi è chiaro il motivo per cui gli estremi di integrazione siano $z=0$ e $z=-b$. Come hai fatto a capire che la superficie "sta sotto" il piano z=0 e non sopra e perchè $-b$ ?
Inoltre in D al denominatore penso ci sia $a^4$ perchè nel testo c'è $((x^2+y^2)/a^2)^2$ e nell'insieme A una radice al posto del quadrato.
Ciao, si è $\a^4$ ma è solo un errore di trascrizione.
Noto, invece, che ho commesso un errorino poichè andando "ad occhio" non ho notato che in realtà isolando $\z$ si ottiene
$\z=b-b((x^2+y^2)/a^2)^2$ mentre io ho invertito i segni.
Quindi il solido di cui si vuole stimare il volume si trova al di sopra del piano xy e quindi z varierà tra $\z=b$ e $\z=0$ e quindi si ottiene
$\V=\int_0^b Area(A) dz = pi*a^2 int_0^b (1-z/b)^2 = -pi*a^2*b*(1-z/b)^3/3|_0^b= pi/3a^2b$
Ricapitolando, l'insieme A è scritto correttamente, D anche modificando $\a^4$ e $\z>=0$ e il volume vale $\pi/3a^2b$.
Avremmo ottenuto lo stesso risultato anche calcolando il volume del solido ottenuto invertendo il segno di z come ho fatto prima io erroneamente, dal momento che si tratta dello stesso solido, ma il risultato ottenuto prima è diverso perchè ho usato l'area di A scritta correttamente ma pensando al solido sbagliato. In quel caso A sarebbe stato infatti $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=(1+z/b)^2}$ e quindi poi facendo variare z tra 0 e -b si torna di nuovo a $\pi/3a^2b$
Noto, invece, che ho commesso un errorino poichè andando "ad occhio" non ho notato che in realtà isolando $\z$ si ottiene
$\z=b-b((x^2+y^2)/a^2)^2$ mentre io ho invertito i segni.
Quindi il solido di cui si vuole stimare il volume si trova al di sopra del piano xy e quindi z varierà tra $\z=b$ e $\z=0$ e quindi si ottiene
$\V=\int_0^b Area(A) dz = pi*a^2 int_0^b (1-z/b)^2 = -pi*a^2*b*(1-z/b)^3/3|_0^b= pi/3a^2b$
Ricapitolando, l'insieme A è scritto correttamente, D anche modificando $\a^4$ e $\z>=0$ e il volume vale $\pi/3a^2b$.
Avremmo ottenuto lo stesso risultato anche calcolando il volume del solido ottenuto invertendo il segno di z come ho fatto prima io erroneamente, dal momento che si tratta dello stesso solido, ma il risultato ottenuto prima è diverso perchè ho usato l'area di A scritta correttamente ma pensando al solido sbagliato. In quel caso A sarebbe stato infatti $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=(1+z/b)^2}$ e quindi poi facendo variare z tra 0 e -b si torna di nuovo a $\pi/3a^2b$
$ ((x^2+y^2)/a^2)^2 = 1 - z/b $
Ti ringrazio, ora mi è chiaro il procedimento. L'ultimissimo dubbio rimane sull'insieme A.
Dalla relazione $((x^2+y^2)/a^2)^2 = 1 - z/b$ per ricavarmi $x^2+y^2$ estraggo la radice ad ambo i membri e moltiplico per $a^2$. Di conseguenza mi viene:
$x^2+y^2 = a^2 sqrt(1-z/b)$
Svolgendo i calcoli mi trovo con il tuo risultato cioè $pi/3a^2b$.
"Lawlietz":
Ciao, si è $\a^4$ ma è solo un errore di trascrizione.
Noto, invece, che ho commesso un errorino poichè andando "ad occhio" non ho notato che in realtà isolando $\z$ si ottiene
$\z=b-b((x^2+y^2)/a^2)^2$ mentre io ho invertito i segni.
Quindi il solido di cui si vuole stimare il volume si trova al di sopra del piano xy e quindi z varierà tra $\z=b$ e $\z=0$ e quindi si ottiene
$\V=\int_0^b Area(A) dz = pi*a^2 int_0^b (1-z/b)^2 = -pi*a^2*b*(1-z/b)^3/3|_0^b= pi/3a^2b$
Ricapitolando, l'insieme A è scritto correttamente, D anche modificando $\a^4$ e $\z>=0$ e il volume vale $\pi/3a^2b$.
Avremmo ottenuto lo stesso risultato anche calcolando il volume del solido ottenuto invertendo il segno di z come ho fatto prima io erroneamente, dal momento che si tratta dello stesso solido, ma il risultato ottenuto prima è diverso perchè ho usato l'area di A scritta correttamente ma pensando al solido sbagliato. In quel caso A sarebbe stato infatti $\A={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2=(1+z/b)^2}$ e quindi poi facendo variare z tra 0 e -b si torna di nuovo a $\pi/3a^2b$
Ti ringrazio, ora mi è chiaro il procedimento. L'ultimissimo dubbio rimane sull'insieme A.
Dalla relazione $((x^2+y^2)/a^2)^2 = 1 - z/b$ per ricavarmi $x^2+y^2$ estraggo la radice ad ambo i membri e moltiplico per $a^2$. Di conseguenza mi viene:
$x^2+y^2 = a^2 sqrt(1-z/b)$
Svolgendo i calcoli mi trovo con il tuo risultato cioè $pi/3a^2b$.
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