Calcolo di un limite x--> 0

[Bade1]

Mi viene chiesto di calcolare il seguente limite per x --> 0 della funzione

f(x) = $ (sqrt(4cosx + x^2) - 2)/(sin^2 x) $

ho provato innanzi tutto con de l'Hôpital ma viene ancora la forma indeterminata $ 0/0 $

Allora ho provato a razionalizzare, questo è ciò che mi è venuto:
$ (sqrt(4cosx + x^2) - 2)/(sin^2 x) * ((sqrt(4cosx + x^2) + 2) / (sqrt(4cosx + x^2) + 2)) = (4cosx + x^2 -4)/(sin^2 x * (sqrt(4cosx + x^2)+2) $

sostituendo viene ancora $ 0/0 $ ...devo tirare in ballo i limiti notevoli??

[Paolo902]

Usa quello che già sai

[Bade1]

Ah quindi posso usare il risultato di prima al posto della f(x) nel limite? Perchè dopo aver calcolato lo sviluppo di prima, mi viene chiesto appunto di calcolare il limite x->0 di $ sqrt((f(x)/(sin^2x)) $
..al posto di f(x) posso mettere il risultato di prima?

[Paolo902]

Certamente.

Infatti, una notevolissima applicazione della formula di Taylor sta proprio nella risoluzione di limiti che si presentano come forme indeterminate.

P.S. Ovviamente, sostituisci con "cautela" e non dimenticare gli $o$-piccoli. Se hai bisogno siamo qui.

[Bade1]

aah bene! scrivo come ho sostituito..
andando a sostituire è venuto: $ (15/35X^4 - 1/4x^2 -1/8)/(sin^2x) $

Ora (credo sbagliando) ho tenuto in considerazione solo il $ -1/4x^2 $ del numeratore aggiungengo $ o(x^2) $ al demoninatore invece ho detto che $sin^2x$ si comporta come $x^2$

In definitiva

$ (-1/4x^2+o(x^2))/(x^2) = -1/4+0(x^2) $

mi sà che ho sbagliato alla grande anche se le operazioni non fanno una piega