Calcolo di un limite, usando solo i limiti notevoli

[antonyo84]

Salve ragazzi questo esercizio mi richiede di calcolare il seguente limite facendo uso solo dei limiti notevoli:

$lim_(x->0) = \frac{[sen5x(2^x-1)]^2 }{(1-cosx) arctg^2 2x}$

ho provato a svolgerlo e a me viene +$oo$ ma non sono sicuro che sia esatto anzi, vi spiego come ho proceduto:

moltiplico numeratore e denominatore per $1/x^2$ al denominatore mi trovo subito il prodotto notevole $(1-cosx)/x^2$ che tende a $1/2$, al numeratore spezzo il prodotto così mi ritrovo $(2^x-1)/x$ che tende a $ln2$, ora mi resta

$lim_(x->0) = \frac{[((sen5x)/x)]^2 }{arctg^2 2x}$

moltiplico e divido per $1/5$ così mi ritrovo il prodotto notevole $(sen5x)/(5x)$ al numeratore così mi resta 1 al numeratore

moltiplico e divido per $1/(2x)$ altro prodotto notevole dell'arcotangente

così alla fine mi resta $5/(2x)$ che dovrebbe tendere a +$oo$


vi chiedo scusa per la lunghezza del post

grazie in anticipo

[Aliseo1]

Allora, un consiglio che ti do quando hai limiti così "complessi" e devi utilizzare solo i limiti notevoli sviluppa ciascuna funzione singolarmente, ossia

$ (1-cos(x)) \sim x^2/2 $ per $ x \to 0 $

$ arctan(2x) \sim 2x $ per $ x \to 0 $ (quindi se la funzione è elevata al quadrato avremo che essa, per per $ x \to 0 $ è equivalente a ... ?)

e così via ok?

Ti dico solo che il limite, adoperando solo i limiti notevoli, vale $ 25/2ln^2(2) $

[K.Lomax]

Fai attenzione. Se molplichi e dividi per $1/x^2$ poi a numeratore avrai solo:

$\frac{sin^2(5x)*(2^x-1)^2}{x^2}$

non

$\frac{sin^2(5x)*(2^x-1)^2}{x^4}$

Dovresti ancora moltiplicare e dividere per $1/x^2$.

[Aliseo1]

ricordati dei quadrati che stanno sia al numeratore, che al denominatore

[antonyo84]

per ricondurre $arctg^2 2x$ al limite notevole devo moltiplicare e dividere per 2x o per $2x^2$ ?

[Aliseo1]

devi dividere e moltiplicare per $4x^2$

[antonyo84]

ti ringrazio, ho finalmente capito e mi trovo con il tuo risultato

[Aliseo1]

prego