Calcolo di un limite notevole.

[Pasquale 90]

Buonasera, devo applicare i limiti notevoli alla seguente limite di funzione,

$lim_(x to 0^+) (tan^3(sqrt(1+x^3)-1)+ln(1+sin^2(x)))/(arctan(3x)+5^(x^4)-1$

moltipllicando/dividendo le relative funzioni mi trovo

$f(x)=(x^2)/(arctan(3x)+5^(x^4)-1)[((tan(sqrt(1+x^3)-1))/(sqrt(1+x^3)-1))^3((sqrt(1+x^3)-1)/x^3)^3x+(ln(1+sin^2(x))/(sin^2(x)))(sin(x)/x)^2(1+x)((sqrt(1+(x+x^2))-1)/(x+x^2))].$

Posto:
$y=x+x^2 $ allora quando $x to 0^+ to y to 0^+$
$y=sqrt(1+x^3)-1$ allora quando $x to 0^+ to y to 0^+$
$y=sin^2(x)$ allora quando $x to 0^+ to y to 0$

Quindi abbiamo
$lim_(x to 0^+)f(x)=lim_(x to 0^+)(x^2)/((arctan(3x))+(5^(x^4)-1))[(lim_(x to 0^+)(x)lim_(x to 0^+)((sqrt(1+x^3)-1)/(x^3))^3lim_(y to 0^+)(tan(y)/y)^3)+(lim_(x to 0^+)(sin(x)/x)lim_(x to 0^+)(1+x)lim_(y to 0^+)(ln(1+y)/y)lim_(y to 0^+)((sqrt(1+y)-1)/y))]$

Ditemi se fin quì salvo errori di calcolo, è fatto bene...

Ciao.

[pilloeffe]

Ciao Pasquale 90,

"Pasquale 90":Ditemi se fin quì salvo errori di calcolo, è fatto bene...

Direi che o hai scritto male il testo o lo svolgimento...
Comunque il limite iniziale proposto si può risolvere velocemente con gli infinitesimi, infatti si trova quasi subito il risultato seguente:

$ \lim_{x \to 0^+} (tan^3(sqrt(1+x^3)-1)+ln(1+sin^2(x)))/(arctan(3x)+5^(x^4)-1) = 0 $

[Pasquale 90]

Buongiorno pilloeffe , sul testo d'esame si chiede esplicitamente di adoperare i limiti notevoli, anche se devo far notare, nello svolgimento che ho fatto per me ho usato il confronto fra infinitesimi in particolare alla funzione presente al denominatore $arctan(3x)+(5^(x^4)-1).$

Sostanzialmente il dubbio che ho quando devo usare i limiti notevoli sono le sostituzioni, cioè se supponiamo che la funzione $f(x)$ che ho determinato nel topic precedente sia corretta, il seguirsi è formalmente corretto ... ossia ho fatto bene a fare le sostituzioni e a spezzare il liimte ?

[Pasquale 90]

Nessuno aiuto pilloeffe

[gugo82]

Al numeratore, il primo addendo è $~~ x^(9)$, mentre il secondo è $~~x^2$; al denominatore, il primo addendo è $~~ x$, mentre il secondo è $~~x^4$. Quindi moltiplica e dividi per ciò che serve, metti in evidenza opportune potenze di $x$, semplifica e calcola.

[pilloeffe]

"Pasquale 90":Nessuno aiuto pilloeffe

A richiesta...
Non è che sia difficile, ma è terribilmente noioso!
Comunque si ha:

$ \lim_{x \to 0^+} (tan^3(sqrt(1+x^3)-1)+ln(1+sin^2(x)))/(arctan(3x)+5^(x^4)-1) = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (tan^3(sqrt(1+x^3)-1)/(sqrt(1+x^3)-1)^3 \cdot (sqrt(1+x^3)-1)^3/x^9 \cdot x^9 +ln(1+sin^2(x))/sin^2(x) \cdot sin^2(x)/x^2 \cdot x^2)/(x(3 arctan(3x)/(3x)+(5^(x^4)-1)/x^4 \cdot x^3)) = $
$ = \lim_{x \to 0^+} (tan^3(sqrt(1+x^3)-1)/(sqrt(1+x^3)-1)^3 \cdot ((sqrt(1+x^3)-1)/x^3)^3 \cdot x^8 +ln(1+sin^2(x))/sin^2(x) \cdot sin^2(x)/x^2 \cdot x)/(3 arctan(3x)/(3x)+(5^(x^4)-1)/x^4 \cdot x^3) = $
$ = (1 \cdot (1/2)^3 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 0)/(3 \cdot 1 + ln(5) \cdot 0) = 0 $