Calcolo di un limite logaritmico

[xMauri94]

Mi aiutereste a capire come affrontare questo limite? In che modo alternativo posso vederlo?

$ lim_{x -> oo} (n^2)/(n^{log_2 4/5} \cdot 5^{log_2 n} $

Grazie mille.

[jitter1]

Si potrebbe provare trasformare la potenza di 5 che dà fastidio:

$ log_2 n= (log_5n)/(log_5 2) $

$ lim_{n -> oo} (n^2)/(n^{log_2 4/5} \cdot 5^{(log_5n)/(log_5 2)} $

$ lim_{n -> oo} (n^2)/(n^{log_2 4/5} \cdot (5^(log_5 n))^(1/(log_5 2) $

A questo punto hai tutto in base $n$:

$lim_{n -> oo} n^(2-log_2 4/5-1/(log_5 2))$

Se questo esponente, che è un numero, è maggiore di 1, il limite tende a infinito, altrimenti (*)... pure, mi sa. Ti torna?

(*) Qui ho già cambiato idea 3 volte in 5 min... forse, invece, tende a 1: un numero fisso elevato a una frazione con denominatore tendente a infinito dovrebbe dare 1

[ri-ri-edit]: ma allora son rinc********!| un valore tendente a infinito elevato a un numero fisso minore di 1 dovrebbe dare... $+oo$...! (Della serie: limite all'asta! Qui sto giocando al rialzo... )

[xMauri94]

Ciao ti ringrazio tantissimo per la risposta.. su Wolphram alpha porta che il limite dovrebbe dare 1.. per questo non sono riuscito a capire come procedere.

[francicko]

Dovrebbe essere semplicemente cosi, se non sbaglio:
$n^2=2^(log_(2)(n^2))=2^(2log_(2)(n))=(2^2)^(log_(2)(n))=4^(log_(2)(n)$;

$n^(log_2(4/5))=(2^(log_(2)(n)))^(log_(2)(4/5)$ $=(2^(log_(2)(4/5)))^(log_(2)(n))=(4/5)^(log_(2)(n))$

Sostituendo avremo $lim_(n->infty)4^(log_(2)(n))/((4/5)^(log_(2)(n))xx5^(log_(2)(n))$ $=lim_(n->infty)4^(log_(2)(n))/(4/5xx5)^(log_(2)(n)$ $=lim_(n->infty)4^(log_(2)(n))/4^(log_(2)(n))$ $=1$

Boh, non capisco a questo punto il senso dell'esercizio, più che del calcolo di un limite si tratta di una semplice trasformazione, magari mi sbaglio, provate a controllare i passaggi che ho riportato

[xMauri94]

Grazie mille, questi esercizi sono un po così. =)