Calcolo di un limite difficile!
Devo risolvere il seguente limite
$ lim_(x-> +oo ) xsqrtx(arcsin(x/(x+1))-arcsin((x-1)/x)) $
Per prima cosa ho fatto il cambio di variabile con $t=1/x$ e quindi ho $t->0$
Il limite diventa
$ lim_(t -> 0 ) (arcsin(1/(t+1))-arcsin(1-t))/t^(3/2) $
siccome il numeratore e il denominatore di questo limite tendono a 0 ho applicato de l'hospital (o come si scrive) e facendo le derivate mi diventa
$ lim_(t -> 0) ((1/(sqrt(1-(1/(t+1))^2))*-1/(t+1)^2)-(-1/(sqrt(1-(1-t)^2))))/((3/2)*t^(1/2)) $
semplificando il tutto
$ lim_(t -> 0) ((-1/(sqrt(t^2+2t)*(t+1))+1/(sqrt(1-(1-t)^2))))/((3/2)*t^(1/2)) $
Ora però il numeratore porta $ +oo - oo$ e il denominatore $0$, quindi credo proprio che de l'hospital non è più applicabile.
A questo punto non sò più che fare! Come si risolve?
Il risultato deve essere $1/sqrt(2)$
$ lim_(x-> +oo ) xsqrtx(arcsin(x/(x+1))-arcsin((x-1)/x)) $
Per prima cosa ho fatto il cambio di variabile con $t=1/x$ e quindi ho $t->0$
Il limite diventa
$ lim_(t -> 0 ) (arcsin(1/(t+1))-arcsin(1-t))/t^(3/2) $
siccome il numeratore e il denominatore di questo limite tendono a 0 ho applicato de l'hospital (o come si scrive) e facendo le derivate mi diventa
$ lim_(t -> 0) ((1/(sqrt(1-(1/(t+1))^2))*-1/(t+1)^2)-(-1/(sqrt(1-(1-t)^2))))/((3/2)*t^(1/2)) $
semplificando il tutto
$ lim_(t -> 0) ((-1/(sqrt(t^2+2t)*(t+1))+1/(sqrt(1-(1-t)^2))))/((3/2)*t^(1/2)) $
Ora però il numeratore porta $ +oo - oo$ e il denominatore $0$, quindi credo proprio che de l'hospital non è più applicabile.
A questo punto non sò più che fare! Come si risolve?
Il risultato deve essere $1/sqrt(2)$
Risposte
Il cambiamento di variabile è una buona idea, tuttavia l'uso di de l'Hopital è una mazzata tra capo e collo. Conosci gli sviluppi di Taylor/confronti locali? Attraverso quella strada dovresti riuscire a fare qualcosa.
Gli sviluppi di Taylor sì, ho provato ad applicarli ma comunque i li prenda non riesco a far tendere a 0 i vari argomenti delle funzioni.
Confronti locali non sò cosa siano o forse li conosco con altro nome.
Confronti locali non sò cosa siano o forse li conosco con altro nome.
"Di Cesare":
Gli sviluppi di Taylor sì, ho provato ad applicarli ma comunque i li prenda non riesco a far tendere a 0 i vari argomenti delle funzioni.
Confronti locali non sò cosa siano o forse li conosco con altro nome.
Se non erro per applicare lo sviluppo di Taylor bisogna avere un limite per $x \to \infty$, pertanto non lo puoi applicare alla tua funzione una volta effettuata la sostituzione bensì allo stesso limite che hai inizialmente.
Taylor si può applicare a qualsiasi x purchè questa sia nell'intervallo di definizione della funzione. Detto questo, almeno nei limiti credo, se l'argomento della funzione annulla la funzione stessa è ok
(es $sin(x-1)$ per $x->1$ allora $(x-1)->0$ così come $sin(x-1)->0$ la formula di Taylor troncata al primo ordine è $x-1$)
altrimenti è abbastanza inutile da fare perchè ti ritorna la funzione che hai con in più altri termini tendenti a 0, come in questo caso.
Prendiamo $arcsin(x/(x+1))$ per $x->+oo$ ho che $(x/(x+1))->1$ e la funzione $arcsin(x/(x+1))->(\pi)/2$ se non sbaglio.
Se ti ricordi la formula di Taylor
$ sum_(k = 0)((f^((k))*(c))/(k!))(x-c)^k $ per k=0 ad n dove $x->c$ nel nostro caso $x->+oo$.
Quindi se sviluppi Taylor per la funzione arcsin preso in esame (troncato il primo ordine)
$arcsin(c/(c+1))+(1/((sqrt(c^2+c+1))*(c+1))*(x-c))$ e per $c->+oo$ mi ritorna
$arcsin(1)+0$ che non mi serve proprio a nulla visto che poi si annulla con l'altro arcsin del limite portandomi sempre una forma indeterminata. Credo sia giusto quello che ho scritto e il risultato non cambia se applico Taylor fino all'n-esimo ordine.
(es $sin(x-1)$ per $x->1$ allora $(x-1)->0$ così come $sin(x-1)->0$ la formula di Taylor troncata al primo ordine è $x-1$)
altrimenti è abbastanza inutile da fare perchè ti ritorna la funzione che hai con in più altri termini tendenti a 0, come in questo caso.
Prendiamo $arcsin(x/(x+1))$ per $x->+oo$ ho che $(x/(x+1))->1$ e la funzione $arcsin(x/(x+1))->(\pi)/2$ se non sbaglio.
Se ti ricordi la formula di Taylor
$ sum_(k = 0)((f^((k))*(c))/(k!))(x-c)^k $ per k=0 ad n dove $x->c$ nel nostro caso $x->+oo$.
Quindi se sviluppi Taylor per la funzione arcsin preso in esame (troncato il primo ordine)
$arcsin(c/(c+1))+(1/((sqrt(c^2+c+1))*(c+1))*(x-c))$ e per $c->+oo$ mi ritorna
$arcsin(1)+0$ che non mi serve proprio a nulla visto che poi si annulla con l'altro arcsin del limite portandomi sempre una forma indeterminata. Credo sia giusto quello che ho scritto e il risultato non cambia se applico Taylor fino all'n-esimo ordine.
Dunque, ci ho pensato un po' su e mi sono reso conto che l'applicazione di Taylor nella forma in cui si presenta il limite risulti un po' troppo complicata. Per cui ora ti propongo una possibile soluzione, che però forse è ancora peggio che usare Taylor, e poi cerchiamo di capire se c'è un modo più semplice. Partiamo dalla seguente identità:
$$\arcsin x-\arcsin y=\alpha-\beta,\qquad \sin x=\alpha,\ \sin y=\beta$$
Calcolo ora
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\ \cos\beta-\sin\beta\ \cos\alpha=x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}$$
in quanto $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-x^2}$ e analogamente l'altra.
Ne segue che
$$\arcsin x-\arcsin y=\alpha-\beta=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)$$
Detto questo, passiamo a vedere cosa accade quando $x=1/{t+1},\ y=1-t$ (usando l'espressione del limite ottenuta dopo la sostituzione). Abbiamo, per l'argomento dell'arcoseno a destra nella precedente identità
$$x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{1+t}\sqrt{2t-t^2}-\frac{1-t}{1+t}\sqrt{2t+t^2}=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\sqrt{1-t/2}-(1-t)\sqrt{1+t/2}\right)$$
da cui, applicando Taylor nella parte tra parentesi, centrato in $t=0$
$$=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left[1-\frac{t}{4}+o(t)-(1-t)\left(1+\frac{t}{4}+o(t)\right)\right]=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\frac{t}{2}+o(t)\right)$$
Fatto questo, abbiamo ancora
$$\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\frac{t}{2}+o(t)\right)\right)\sim\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\cdot\frac{t}{2}$$
usando il confronto locale.
A questo punto il nostro limite diventa
$$\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t^{3/2}}\cdot\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\cdot\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
che è il risultato corretto.
NOTA: l'identità che ho scritto per la differenza degli arcoseni vale così com'è a causa del fatto che entrambi gli argomenti possono essere considerati nell'intervallo $[0,1]$ (a causa del fatto che $t\to 0$) e di conseguenza per i valori del coseno, posso prendere le determinazioni della radice con segno positivo (avremo angoli nel primo quadrante, per cui valori di seno e coseno entrambi positivi). L'identità va lievemente modificata per angoli generici.
$$\arcsin x-\arcsin y=\alpha-\beta,\qquad \sin x=\alpha,\ \sin y=\beta$$
Calcolo ora
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\ \cos\beta-\sin\beta\ \cos\alpha=x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}$$
in quanto $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-x^2}$ e analogamente l'altra.
Ne segue che
$$\arcsin x-\arcsin y=\alpha-\beta=\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)$$
Detto questo, passiamo a vedere cosa accade quando $x=1/{t+1},\ y=1-t$ (usando l'espressione del limite ottenuta dopo la sostituzione). Abbiamo, per l'argomento dell'arcoseno a destra nella precedente identità
$$x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}=\frac{1}{1+t}\sqrt{2t-t^2}-\frac{1-t}{1+t}\sqrt{2t+t^2}=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\sqrt{1-t/2}-(1-t)\sqrt{1+t/2}\right)$$
da cui, applicando Taylor nella parte tra parentesi, centrato in $t=0$
$$=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left[1-\frac{t}{4}+o(t)-(1-t)\left(1+\frac{t}{4}+o(t)\right)\right]=\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\frac{t}{2}+o(t)\right)$$
Fatto questo, abbiamo ancora
$$\arcsin\left(x\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-x^2}\right)=\arcsin\left(\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\left(\frac{t}{2}+o(t)\right)\right)\sim\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\cdot\frac{t}{2}$$
usando il confronto locale.
A questo punto il nostro limite diventa
$$\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t^{3/2}}\cdot\frac{\sqrt{2t}}{1+t}\cdot\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
che è il risultato corretto.
NOTA: l'identità che ho scritto per la differenza degli arcoseni vale così com'è a causa del fatto che entrambi gli argomenti possono essere considerati nell'intervallo $[0,1]$ (a causa del fatto che $t\to 0$) e di conseguenza per i valori del coseno, posso prendere le determinazioni della radice con segno positivo (avremo angoli nel primo quadrante, per cui valori di seno e coseno entrambi positivi). L'identità va lievemente modificata per angoli generici.
Comunque si poteva applicare de l'Hospital più volte e facendo varie semplificazioni il risultato è quello esatto.
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