Calcolo di un limite di successione
Buon pomeriggio. Scrivo il seguente post per sottoporre alla vostra attenzione il calcolo del seguente limite di successione:
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{(n-1)!} \)
La soluzione (dall'eserciziario di Analisi 1 del Prof. Bramanti) propone l'applicazione del criterio del rapporto, pervenendo al risultato che la successione \(\displaystyle a_{n} \) ha limite \(\displaystyle 0 \).
Vorrei chiedervi se questo mio procedimento sia altrettanto valido: in particolare, osservando che \(\displaystyle n!=n(n-1)!\Rightarrow (n-1)!=\frac{n!}{n} \), sostituendo al denominatore, ottengo:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{n(n+1)}{n!}=\frac{n^{2}+n}{n!}=\frac{n^{2}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n!}\sim \frac{n^{2}}{n!}\rightarrow 0\),
avendo applicato, nell'ultimo passaggio, il criterio del confronto asintotico (gerarchia di infiniti, in particolare se \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{n^{\alpha }}{a^{n}}=0 \) e \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!}=0 \), allora a maggior ragione \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{n^{2}}{n!}=0 \)).
E' corretto?
Grazie in anticipo per l'attenzione.
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n+1}{(n-1)!} \)
La soluzione (dall'eserciziario di Analisi 1 del Prof. Bramanti) propone l'applicazione del criterio del rapporto, pervenendo al risultato che la successione \(\displaystyle a_{n} \) ha limite \(\displaystyle 0 \).
Vorrei chiedervi se questo mio procedimento sia altrettanto valido: in particolare, osservando che \(\displaystyle n!=n(n-1)!\Rightarrow (n-1)!=\frac{n!}{n} \), sostituendo al denominatore, ottengo:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{n(n+1)}{n!}=\frac{n^{2}+n}{n!}=\frac{n^{2}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )}{n!}\sim \frac{n^{2}}{n!}\rightarrow 0\),
avendo applicato, nell'ultimo passaggio, il criterio del confronto asintotico (gerarchia di infiniti, in particolare se \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{n^{\alpha }}{a^{n}}=0 \) e \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!}=0 \), allora a maggior ragione \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{n^{2}}{n!}=0 \)).
E' corretto?
Grazie in anticipo per l'attenzione.
Risposte
Beh, si e' corretto, ma ancora piu' semplicemente
$lim_{n -> +infty} (n+1)/((n-1)!) = lim_{n -> +infty} ((n-1)/((n-1)!) + 2/((n-1)!)) = lim_{n -> +infty} (1/((n-2)!) + 2/((n-1)!)) = 0$
$lim_{n -> +infty} (n+1)/((n-1)!) = lim_{n -> +infty} ((n-1)/((n-1)!) + 2/((n-1)!)) = lim_{n -> +infty} (1/((n-2)!) + 2/((n-1)!)) = 0$
Grazie per la conferma e per l'ulteriore esempio chiarificatore.
Colgo l'occasione per sottoporre un altro esempio similare, estratto sempre dall'eserciziario del Prof. Bramanti; si chiede di calcolare il seguente limite di successione:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{(2n)!}{4^{n}} \)
La soluzione propone ancora una volta l'applicazione del criterio del rapporto, che permette di concludere che \(\displaystyle a_{n}\rightarrow +\infty \). Potrei invece direttamente scrivere come segue? Cioé:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{(2n)!}{4^{n}}=\frac{(2n)!}{2^{2n}} \)
Definendo \(\displaystyle b_{n}:= 2n \), ottengo:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{b_{n}!}{2^{b_{n}}}\rightarrow +\infty \)
visto che, per il teorema della gerarchia degli infiniti, è vero che \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!}=0 \).
E' formalmente corretto questo ragionamento?
Grazie ancora per il cortese supporto che fornite.
Colgo l'occasione per sottoporre un altro esempio similare, estratto sempre dall'eserciziario del Prof. Bramanti; si chiede di calcolare il seguente limite di successione:
\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{(2n)!}{4^{n}} \)
La soluzione propone ancora una volta l'applicazione del criterio del rapporto, che permette di concludere che \(\displaystyle a_{n}\rightarrow +\infty \). Potrei invece direttamente scrivere come segue? Cioé:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{(2n)!}{4^{n}}=\frac{(2n)!}{2^{2n}} \)
Definendo \(\displaystyle b_{n}:= 2n \), ottengo:
\(\displaystyle a_{n}=\frac{b_{n}!}{2^{b_{n}}}\rightarrow +\infty \)
visto che, per il teorema della gerarchia degli infiniti, è vero che \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!}=0 \).
E' formalmente corretto questo ragionamento?
Grazie ancora per il cortese supporto che fornite.
Mi sembra corretto.
Grazie
"jordan20":
Grazie
Di nulla.
Comunque anche qui si puo' fare in modo piu' sbrigativo, forse meno formale:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty }\frac{(2n)!}{4^{n}} = \lim_{n \to +\infty }\frac{1}{2}\frac{2}{2}\frac{3}{2}\frac{4}{2}...\frac{2n}{2} > \lim_{n \to +\infty }\left(\frac{3}{2}\right)^n = \infty \)
Ciao jordan20,
Per il primo esercizio si può anche osservare che per $n \ge 3 $ vale la seguente catena di disuguaglianze:
$ 0 < \frac{n+1}{(n-1)!} \le \frac{2n - 2}{(n-1)!} = 2/((n - 2)!) $
Sicché si ha:
$ 0 < \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{(n-1)!} \le \lim_{n \to +\infty} 2/((n - 2)!) = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{(n-1)!} = 0 $
Per il secondo esercizio molto più semplicemente si può notare che $\AA n \in \NN $ si ha:
$ \frac{(2n)!}{4^{n}} > \frac{n!}{4^n} $
Sicché se ti è già noto che $ \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!} = 0 $ subito si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}} > \lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{4^n} = +\infty \implies \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}} = +\infty $
Per il primo esercizio si può anche osservare che per $n \ge 3 $ vale la seguente catena di disuguaglianze:
$ 0 < \frac{n+1}{(n-1)!} \le \frac{2n - 2}{(n-1)!} = 2/((n - 2)!) $
Sicché si ha:
$ 0 < \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{(n-1)!} \le \lim_{n \to +\infty} 2/((n - 2)!) = 0 \implies \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{(n-1)!} = 0 $
Per il secondo esercizio molto più semplicemente si può notare che $\AA n \in \NN $ si ha:
$ \frac{(2n)!}{4^{n}} > \frac{n!}{4^n} $
Sicché se ti è già noto che $ \lim_{n \to +\infty }\frac{a^{n}}{n!} = 0 $ subito si ha:
$ \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}} > \lim_{n \to +\infty} \frac{n!}{4^n} = +\infty \implies \lim_{n \to +\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}} = +\infty $
Chiarissimo, grazie!
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