Calcolo di un limite (con Taylor?)
Salve a tutti,
avrei questo limite da calcolare:
$ lim_(x->+oo) e^(1/x)*sqrt(x^2 + x)- root(4)(x^4 + 1) $
Come potrei fare?
Credo che con Taylor non me la possa cavare, dal momento che i termini sotto radice sono infiniti e cioè non tendono a $0$.
Voi avete qualche idea?
Il risultato è $3/2$
avrei questo limite da calcolare:
$ lim_(x->+oo) e^(1/x)*sqrt(x^2 + x)- root(4)(x^4 + 1) $
Come potrei fare?
Credo che con Taylor non me la possa cavare, dal momento che i termini sotto radice sono infiniti e cioè non tendono a $0$.
Voi avete qualche idea?
Il risultato è $3/2$
Risposte
$\lim_{x\to+\infty} e^{1/x}\sqrt{x^2 + x}-\root{4}{x^4 + 1}$
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2/x}(x^2 + x)- \sqrt{x^4 + 1}}{e^{1/x}\sqrt{x^2 + x}+\root{4}{x^4 + 1}}$
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{4/x}(x^2 + x)^2- (x^4 + 1)}{(e^{1/x}\sqrt{x^2 + x}+\root{4}{x^4 + 1})(e^{2/x}(x^2 + x)+ \sqrt{x^4 + 1})}$
Però così mi sembra che venga $1/2$ (con i calcoli fatti a mente... quindi potrebbe anche essere $3/2$).
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{2/x}(x^2 + x)- \sqrt{x^4 + 1}}{e^{1/x}\sqrt{x^2 + x}+\root{4}{x^4 + 1}}$
$=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{4/x}(x^2 + x)^2- (x^4 + 1)}{(e^{1/x}\sqrt{x^2 + x}+\root{4}{x^4 + 1})(e^{2/x}(x^2 + x)+ \sqrt{x^4 + 1})}$
Però così mi sembra che venga $1/2$ (con i calcoli fatti a mente... quindi potrebbe anche essere $3/2$).
ciao billyballo,
grazie per la tua risposta.
quali sono i calcoli a mente che ti hanno portato ad indicare $1/2$ o $3/2$ come soluzione?
grazie per la tua risposta.
quali sono i calcoli a mente che ti hanno portato ad indicare $1/2$ o $3/2$ come soluzione?
Se scrivi l'espressione così:
\( e^\frac{1}{x} \sqrt{x^2+x}- \sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2+x}- \sqrt[4]{x^4+1} \),
il limite della prima differenza tende a $ 1 $ (basta raccogliere la radice e dividere/moltiplicare per x); quello della seconda, con il procedimento che ti suggerisce billyballo2123, tende a $ 1/2 $.
Ciao
B.
\( e^\frac{1}{x} \sqrt{x^2+x}- \sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2+x}- \sqrt[4]{x^4+1} \),
il limite della prima differenza tende a $ 1 $ (basta raccogliere la radice e dividere/moltiplicare per x); quello della seconda, con il procedimento che ti suggerisce billyballo2123, tende a $ 1/2 $.
Ciao
B.
In alternativa potresti raccogliere x^2 e x^4 dentro le radici ottenendo così degli infinitesimi.
x[e^(1/x)*(1+1/x)^(1/2)-(1+1/x^4)^(1/4)].
E poi da qui sviluppi con Taylor.
scusami per l'intestazione ma non so come fare per scrivere giusto!
x[e^(1/x)*(1+1/x)^(1/2)-(1+1/x^4)^(1/4)].
E poi da qui sviluppi con Taylor.
scusami per l'intestazione ma non so come fare per scrivere giusto!
"Dino 92":
quali sono i calcoli a mente che ti hanno portato ad indicare $1/2$ o $3/2$ come soluzione?
Premesso che i calcoli erano effettivamente sbagliati, ti suggerisco di fare come suggerisce orsolux, così ti liberi di $e^{1/x}$ che potrebbe trarre in inganno (come è successo a me). A quel punto la prima differenza tende a uno, mentre la seconda se la affronti con il metodo che ti ho scritto (con le dovute modifiche) ti porta a
$\lim_{x\to+\infty}\frac{(x^2 + x)^2- (x^4 + 1)}{(\sqrt{x^2 + x}+\root{4}{x^4 + 1})((x^2 + x)+ \sqrt{x^4 + 1})}$;
Il numeratore è asintotico a $2x^3$, mentre a denominatore la prima parentesi è asintotica a $2x$ e la seconda a $2x^2$, dunque il loro prodotto è $4x^3$. Se ora fai il rapporto ottieni $1/2$.
Per la soluzione in questo caso sono sufficienti gli asintotici che corrispondono allo sviluppo in serie di taylor arrestato al primo termine in $x$;
$lim_(x->infty)e^(1/x)×lim_(x->infty) (sqrt(x^2+x)-root(4)(x^4+x^2))$ $=e^0×lim_(x->infty) (x×sqrt (1+1/x)-x^2×root (4)(1+1/x^2)) $
Essendo asintoticamente:
$sqrt (1+1/x)~(1+1/(2x)) $
$root (4)(1+1/x^2)~(1+1/(4x^2))$
sostituendo si ha:
$1×lim_(x->infty)(x (1+1/(2x))-x (1+1/(4x^2)))$ $=lim_(x->infty)(x+1/2-x-2/(4x)) $ $=lim_(x->infty)(1/2-1/(4x))=1/2$
Vi sembra corretto questo procedimento?
$lim_(x->infty)e^(1/x)×lim_(x->infty) (sqrt(x^2+x)-root(4)(x^4+x^2))$ $=e^0×lim_(x->infty) (x×sqrt (1+1/x)-x^2×root (4)(1+1/x^2)) $
Essendo asintoticamente:
$sqrt (1+1/x)~(1+1/(2x)) $
$root (4)(1+1/x^2)~(1+1/(4x^2))$
sostituendo si ha:
$1×lim_(x->infty)(x (1+1/(2x))-x (1+1/(4x^2)))$ $=lim_(x->infty)(x+1/2-x-2/(4x)) $ $=lim_(x->infty)(1/2-1/(4x))=1/2$
Vi sembra corretto questo procedimento?
No. $e^{1/x}$ moltiplicava solo la prima radice, quindi non la si può liquidare dicendo semplicemente che tende a uno per $x\to+\infty$.
Sì hai ragione, moltiplica solo la prima radice 
(devo mettere gli occhiali).
Scusa se ti contraddico, ma comunque resto del parere che anche in questo caso il termine $e^(1/x)$ tendendo ad $1$ per $x->infty $ resta ininfluente, ed il limite può essere riscritto come $lim_(x->infty)sqrt (x+x^2)-root (4)(x^4+x^2) $
(devo mettere gli occhiali).Scusa se ti contraddico, ma comunque resto del parere che anche in questo caso il termine $e^(1/x)$ tendendo ad $1$ per $x->infty $ resta ininfluente, ed il limite può essere riscritto come $lim_(x->infty)sqrt (x+x^2)-root (4)(x^4+x^2) $
No. Come dici te risulta $1/2$, mentre in realtà risulta $3/2$. Avevo fatto lo stesso errore prima che orsolux me lo facesse notare.
Sì hai perfettamente ragione!
Considerando che $e^(1/x)~(1+1/x)$, ed $sqrt (1+1/x)~(1+1/(2x)) $, e $root(4)(1+1/x^2)~(1+1/(4x^2))$,
sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->infty )(1+1/x)(1+1/(2x))x-x (1+1/(4x^2)) $ $=lim_(x->infty)(x+1+1/2+1/(2x)-(x+1/(4x)))$ $=lim_(x->infty)(x+1+1/2+1/(2x)-x-1/(4x))=1+1/2$ $=3/2$;
Così dovrebbe andar bene, giustamente come avevi precedentemente affermato trascurando il termine $e^(1/x)~(1+1/x)$ non sì ottiene l' espressione asintotica corretta;
Giusto?
Considerando che $e^(1/x)~(1+1/x)$, ed $sqrt (1+1/x)~(1+1/(2x)) $, e $root(4)(1+1/x^2)~(1+1/(4x^2))$,
sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->infty )(1+1/x)(1+1/(2x))x-x (1+1/(4x^2)) $ $=lim_(x->infty)(x+1+1/2+1/(2x)-(x+1/(4x)))$ $=lim_(x->infty)(x+1+1/2+1/(2x)-x-1/(4x))=1+1/2$ $=3/2$;
Così dovrebbe andar bene, giustamente come avevi precedentemente affermato trascurando il termine $e^(1/x)~(1+1/x)$ non sì ottiene l' espressione asintotica corretta;
Giusto?
Sì così dovrebbe andar bene
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