Calcolo di un limite con definizione
Il limite è \( lim_{x\rightarrow 1} 3x-1/(x+1)=1 \)
La definizione:
\( lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=l \)
\( f:A\rightarrow R \ \)
\( \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:x\in A,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon \)
Io non ho mai fatto un esercizio del genere, quindi, partirei facendo:
\( |3x-1/(x+1)-1|<\varepsilon \)
e
\( 0<|x-1|<\delta \)
Ma poi???
Grazie!
La definizione:
\( lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=l \)
\( f:A\rightarrow R \ \)
\( \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:x\in A,0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-l|<\varepsilon \)
Io non ho mai fatto un esercizio del genere, quindi, partirei facendo:
\( |3x-1/(x+1)-1|<\varepsilon \)
e
\( 0<|x-1|<\delta \)
Ma poi???
Grazie!
Risposte
Come tu hai scritto : $|f(x)-l | < epsilon $ e questo deve accadere in un intorno di $ x_0 $ che dobbiamo determinare, dobbiamo cioè trovare un valore $ delta $ tale che in tutti i valori di $x $ che distano da $x_0 $ meno di $ delta $ si abbia $|f(x)-l | < epsilon $.Questo naturalmente sarà vero se è vero che il limite vale $l $ per $ x rarr x_0$.
Ma $|f(x)-l | < epsilon$ equivale a dire $ l-epsilon < f(x) < l + epsilon $ che è più comodo da gestire.
In conclusione dobbiamo risolvere la disequazione $l-epsilon < f(x) < l + epsilon $ e determinare in quale intorno di $x_0 $ è verificata.
Nel caso nostro : $l=1 ; x_0=1 ; f(x)= (3x-1)/(x+1)$
Quindi la disequazione da risolvere è
$ 1-epsilon < (3x-1)/(x+1) < 1+ epsilon $
*Iniziamo con la prima : $ (3x-1)/(x+1)> 1- epsilon rarr (3x-1)/(x+1) -1+epsilon > 0 rarr ((2+epsilon)x+ (epsilon-2))/(x+1)>0 $
Poiché siamo in un intorno di $x=1 $ il denominatore è $> 0 $ e allora perché sia verificata la disequazione deve essere
$ (2+epsilon)x > 2- epsilon rarr x > (2-epsilon)/(2+epsilon) =(2+epsilon-2epsilon)/(2+epsilon) = 1-2epsilon/(2+epsilon)$
* Si procede analogamente con la seconda disequazione $ (3x-1)/(x+1) < 1+epsilon $ arrivando a $ x< (2+epsilon)/(2-epsilon) =1+2epsilon/(2-epsilon)$
In conclusione la disequazione iniziale è verificata se $1-(2epsilon)/(2+epsilon) < x < 1+(2epsilon)/(2-epsilon) $ che è appunto un intorno di $x= 1 $.
Il valore di $ delta $ - che è quello che cerchiamo- sarà il più piccolo numero tra $ (2epsilon)/(2+epsilon) $ e $ (2epsilon)/(2-epsilon) $ , quindi $delta = (2epsilon)/(2+epsilon)$ .
E' quindi verificato che se $|x-1| < delta $ allora $|f(x)-1 | < epsilon $
N.B. Più che calcolo di un limite lo definirei verifica di un limite con la definizione .
Ma $|f(x)-l | < epsilon$ equivale a dire $ l-epsilon < f(x) < l + epsilon $ che è più comodo da gestire.
In conclusione dobbiamo risolvere la disequazione $l-epsilon < f(x) < l + epsilon $ e determinare in quale intorno di $x_0 $ è verificata.
Nel caso nostro : $l=1 ; x_0=1 ; f(x)= (3x-1)/(x+1)$
Quindi la disequazione da risolvere è
$ 1-epsilon < (3x-1)/(x+1) < 1+ epsilon $
*Iniziamo con la prima : $ (3x-1)/(x+1)> 1- epsilon rarr (3x-1)/(x+1) -1+epsilon > 0 rarr ((2+epsilon)x+ (epsilon-2))/(x+1)>0 $
Poiché siamo in un intorno di $x=1 $ il denominatore è $> 0 $ e allora perché sia verificata la disequazione deve essere
$ (2+epsilon)x > 2- epsilon rarr x > (2-epsilon)/(2+epsilon) =(2+epsilon-2epsilon)/(2+epsilon) = 1-2epsilon/(2+epsilon)$
* Si procede analogamente con la seconda disequazione $ (3x-1)/(x+1) < 1+epsilon $ arrivando a $ x< (2+epsilon)/(2-epsilon) =1+2epsilon/(2-epsilon)$
In conclusione la disequazione iniziale è verificata se $1-(2epsilon)/(2+epsilon) < x < 1+(2epsilon)/(2-epsilon) $ che è appunto un intorno di $x= 1 $.
Il valore di $ delta $ - che è quello che cerchiamo- sarà il più piccolo numero tra $ (2epsilon)/(2+epsilon) $ e $ (2epsilon)/(2-epsilon) $ , quindi $delta = (2epsilon)/(2+epsilon)$ .
E' quindi verificato che se $|x-1| < delta $ allora $|f(x)-1 | < epsilon $
N.B. Più che calcolo di un limite lo definirei verifica di un limite con la definizione .
Ok! grazie mille! 
Quindi non devo arrivare a trovare il valore del limite, ma solamente gli intorni si x ed y che soddisfano la condizione del limite?
Quindi non devo arrivare a trovare il valore del limite, ma solamente gli intorni si x ed y che soddisfano la condizione del limite?
La logica della verifica di un limite tramite definizione è - in parole povere - la seguente.
Fissi $\varepsilon>0$ una costante supposta arbitrariamente piccola.
Parti con $|f(x)-l|<\varepsilon$.
Andando avanti - i calcoli li ha egregiamente spiegati Camillo - l'obiettivo è quello di arrivare ad ottenere $|x-x_0|<\delta(\varepsilon)$. La logica che sta sotto è questa: partendo dal $|f(x)-l|<\varepsilon$ voglio mostrare che deve per forza, a monte, valere l'altra condizione. Ovviamente questo va mostrato servendosi di proprietà del modulo o delle disequazioni o altre cose, ma comunque voglio far vedere che se siamo vicini al limite (proprio la condizione $|f(x)-l|<\varepsilon$) dobbiamo necessariamente essere nell'intorno del punto limite (dunque ottenere $|x-x_0|<\delta(\varepsilon)$).
Mi è sempre sembrato un esercizio inutile alle superiori ma in analisi I ho capito che invece è una questione logica piuttosto interessante.
Ho detto 4-5 volte la stessa cosa, credo, ma spero che si sia capito. Ovviamente mi sono focalizzato sul caso "limite finito per $x$ che tende a valore finito" ma questa logica si può estendere con qualche accorgimento a tutti gli altri casi.
Fissi $\varepsilon>0$ una costante supposta arbitrariamente piccola.
Parti con $|f(x)-l|<\varepsilon$.
Andando avanti - i calcoli li ha egregiamente spiegati Camillo - l'obiettivo è quello di arrivare ad ottenere $|x-x_0|<\delta(\varepsilon)$. La logica che sta sotto è questa: partendo dal $|f(x)-l|<\varepsilon$ voglio mostrare che deve per forza, a monte, valere l'altra condizione. Ovviamente questo va mostrato servendosi di proprietà del modulo o delle disequazioni o altre cose, ma comunque voglio far vedere che se siamo vicini al limite (proprio la condizione $|f(x)-l|<\varepsilon$) dobbiamo necessariamente essere nell'intorno del punto limite (dunque ottenere $|x-x_0|<\delta(\varepsilon)$).
Mi è sempre sembrato un esercizio inutile alle superiori ma in analisi I ho capito che invece è una questione logica piuttosto interessante.
Ho detto 4-5 volte la stessa cosa, credo, ma spero che si sia capito. Ovviamente mi sono focalizzato sul caso "limite finito per $x$ che tende a valore finito" ma questa logica si può estendere con qualche accorgimento a tutti gli altri casi.
Una cosa è il calcolo di un limite, nel tuo caso essendo la funzione continua in $ x=1 $ basta porre $ x=1 $ nella funzione e vedere cosa salta fuori .
Invece l'esercizio richiedeva la verifica, tramite definizione , che per $x rarr 1 $ la funzione $f(x) rarr 1 $.
Si tratta di trovare cioè un intorno di $x_0 $ , $|x-x_0|< delta $ tale per cui nei punti dell'intorno si abbia $|f(x)-l |< epsilon$.
Invece l'esercizio richiedeva la verifica, tramite definizione , che per $x rarr 1 $ la funzione $f(x) rarr 1 $.
Si tratta di trovare cioè un intorno di $x_0 $ , $|x-x_0|< delta $ tale per cui nei punti dell'intorno si abbia $|f(x)-l |< epsilon$.
@Zero87 , se tu l'hai detto 4-5 volte , io ancora di più e spero anch' io si sia capito.
Concordo con te che la verifica di un limite con la definizione sia , certo noiosa, ma molto utile per capire bene il succo della faccenda.Da cosa si parte e dove si vuole arrivare
Concordo con te che la verifica di un limite con la definizione sia , certo noiosa, ma molto utile per capire bene il succo della faccenda.Da cosa si parte e dove si vuole arrivare
Quindi se ho capito bene, noi scegliamo degli $ epsilon $ sempre più piccoli per andare a verificare l'altra condizione $ |x - x_0|< delta $ e se essa è verificata tramite la prima condizione allora la funzione ha limite in detto punto.
Tuttavia c'è una cosa che non riesco ancora a capire... Ho trovato questo esercizio on line:
\( \lim_{x\rightarrow 3}4x-5=7 \)
Adesso, lasciando perdere la definizione... Sappiamo che la funzione ha dome dominio tutta la retta reale. Perché si parla di limite in questo caso? Mi pare evidente che per $ x->3 $ la funzione assume valore 7 dato che è sempre continua.
\( \lim_{x\rightarrow 3}4x-5=7 \)
Adesso, lasciando perdere la definizione... Sappiamo che la funzione ha dome dominio tutta la retta reale. Perché si parla di limite in questo caso? Mi pare evidente che per $ x->3 $ la funzione assume valore 7 dato che è sempre continua.
"Mandiatutti":
Quindi se ho capito bene, noi scegliamo degli $ epsilon $ sempre più piccoli per andare a verificare l'altra condizione $ |x - x_0|< delta $ e se essa è verificata tramite la prima condizione allora la funzione ha limite in detto punto.
Sì , non solo verifichi che la funzione ha limite in quel punto ma che il limite vale proprio $ l $
N.B epsilon scrivilo senza y
"Mandiatutti":
Tuttavia c'è una cosa che non riesco ancora a capire... Ho trovato questo esercizio on line:
\( \lim_{x\rightarrow 3}4x-5=7 \)
Adesso, lasciando perdere la definizione... Sappiamo che la funzione ha dome dominio tutta la retta reale. Perché si parla di limite in questo caso? Mi pare evidente che per $ x->3 $ la funzione assume valore 7 dato che è sempre continua.
Certamente in questo caso il valore del limite coincide col valore che la funzione assume in quel punto essendo funzione continua.
Ma non è sempre così : considera la funzione :
$f(x)= 4x-5 $ se $x ne 3 ; f(x)= 322 $ se $x =3 $.
Cosa diresti a questo punto ? qual è il valore della funzione in $x=3 $ e quanto vale $lim_(x rarr 3 ) 4x-5 $ ?
Ah adesso ci sono perfettamente, praticamente serve per determinare i così detti "salti" della funzione... Ne stabilisce quindi la continuità in tutti i suoi punti...
Prova a rispondere alla mia domanda in modo preciso ....
@Camillo
Direi che la funzione ha un punto di discontinuità di primo tipo (o salto) essendo che è continua in tutto il suo dominio. Quindi per il teorema dell'unicità del limite svolgiamo il limite per $x->x_0^+$ $x->x_0^-$ Questi devono coincidere tuttavia se la funzione è crescente (come in questo caso) il limite da dx risulterà 322 e quello da sx risulterà 3.
Allora ecco spiegato a cosa serve il limite per punti di funzioni dove calcolarlo sembrerebbe "stupido".
Risposta soddisfacente?
Direi che la funzione ha un punto di discontinuità di primo tipo (o salto) essendo che è continua in tutto il suo dominio. Quindi per il teorema dell'unicità del limite svolgiamo il limite per $x->x_0^+$ $x->x_0^-$ Questi devono coincidere tuttavia se la funzione è crescente (come in questo caso) il limite da dx risulterà 322 e quello da sx risulterà 3.
Allora ecco spiegato a cosa serve il limite per punti di funzioni dove calcolarlo sembrerebbe "stupido".
Risposta soddisfacente?
Ni ... il limite dx e sx hanno lo stesso valore : 7 ; la funzione in $x=3 $ vale $ 322 $ .La funzione non raggiunge mai il valore $7$
Formalmente $ lim_(x rarr 3 ) 4x-5 = 7 $ mentre $f(3)= 322 ne 7 $.
Hai fatto delle considerazioni contradditorie : limite unico e poi dai valori diversi...
La crescenza della funzione centra poco.
Se invece assegnassi una funzione $ f(x) = 4x-5 $ per $x< 3 ; f(3) = 322 ; f(x)= x+10 $ per $x > 3 $ allora sì che i limiti dx e sx sono diversi e valgono.........
Formalmente $ lim_(x rarr 3 ) 4x-5 = 7 $ mentre $f(3)= 322 ne 7 $.
Hai fatto delle considerazioni contradditorie : limite unico e poi dai valori diversi...
La crescenza della funzione centra poco.Se invece assegnassi una funzione $ f(x) = 4x-5 $ per $x< 3 ; f(3) = 322 ; f(x)= x+10 $ per $x > 3 $ allora sì che i limiti dx e sx sono diversi e valgono.........
Si, effettivamente.... Grazie!
Grazie!
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