Calcolo di un limite al variare di un parametro

[GOPRO HERO4]

Ciao a tutti, come faccio a determinare il risultato di questo limite al variare di $ a $?
$ lim_(x -> 0+) (-sqrt(2)x^3+o(x^3))/(x+x^3/6+o(x^3)-x^a) $

In base a cosa determino il parametro $ a $?

Grazie mille

[Berationalgetreal]

Dividi tutto per $x^3$ e studia cosa accade, al variare di $a$, ad $x^{a - 3}$.

[francicko]

Se $a=1$ il limite e' finito, ed il valore viene $-6sqrt(2)$
Se $a>1$ il limite e'$0$
Prova ad analizzare gli altri casi.
In ogni caso dato che a numeratore hai $o (x^3) $, prevale sempre $-sqrt(2)x^3$, pertanto il limite da studiare diventa:
$lim_(x->0)(-sqrt(2)x^3)/(x+x^3/6+o (x^3)-x^a) $

[GOPRO HERO4]

Come fa a risultare zero il limite con a>1? perchè se a>3 allora viene inglobato nell'o piccolo di $ x^3 $ e quindi resta al denominatore $ x+(x^3)/6 $, invece se $ 1

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[francicko]

Se $a>1$ in ogni caso nella somma a denominatore prevale sempre l'infinitesimo di ordine più piccolo, cioe' il termine che va $0$ meno velocemente , in questi caso $x $;
Se per esempio hai $a=1+1/2$, quindi $1 se invece si ha $a=1$, allora i termini in $x $ si elidono e resta solo il termine $x^3/6$, per cui il valore del limite e' finito, come ho indicato sopra all'inizio.
Prova se vuoi a verificarlo con wolfram.