Calcolo di un limite
$lim_(x->0)(x*sin^3 x)/((e^(x/2)-1)(1-cos(x))^(3/2))$
mi viene 0 /0 forma indeterminata. è giusto?
scusatemi non ci riesco a usare e simboli, sarebbe il limite per x che tende a zero di x * sin^3 di x fratto (esp(x/2) - 1) (1- cos (x)) alla 3/2
mi viene 0 /0 forma indeterminata. è giusto?
scusatemi non ci riesco a usare e simboli, sarebbe il limite per x che tende a zero di x * sin^3 di x fratto (esp(x/2) - 1) (1- cos (x)) alla 3/2
Risposte
ecco l'ho modificato
è ancora poco chiaro quello che hai scritto.
perchè? è il testo come nel libro. dovete guardare la scritta blu
@elyon: Hai preso in considerazione la possibilità di applicare i limiti notevoli dell'esponenziale e del coseno?
non conosceo qst regola.. potresti spiegarmela?
Conosci i limiti:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} =1$[/tex], [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$[/tex] e [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos y}{y^2} =\frac{1}{2}$[/tex]?
Cerca di farli comparire dove servono.
Come?
Moltiplicando e dividendo per quantità opportune.
Ad esempio il limite del seno ti dice anche che:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin^3 y}{y^3} =1$[/tex]
(basta elevare tutto al cubo), quindi al numeratore basta moltiplicare e dividere per [tex]$x^3$[/tex] per far uscire fuori un limite (quasi) notevole.
Invece, ricordato che il limite del coseno implica:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1-\cos y)^\frac{3}{2}}{(y^2)^\frac{3}{2}} =\left( \frac{1}{2}\right)^\frac{3}{2}$[/tex]
ossia:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1-\cos y)^\frac{3}{2}}{|y|^3}=\frac{1}{\sqrt{8}}$[/tex],
al denominatore basta moltiplicare e dividere per [tex]$|x|^3$[/tex] per eliminare un pezzo di forma indeterminata.
Questi passaggi ti portano a scrivere:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{x\ \sin^3 x}{(e^\frac{x}{2} -1)\ (1-\cos x)^\frac{3}{2}} = \lim_{x\to 0} x\ \frac{\sin^3 x}{x^3}\ x^3\cdot \frac{1}{\frac{(1-\cos x)^\frac{3}{2}}{|x|^3}}\ \frac{1}{|x|^3}\cdot \frac{1}{e^\frac{x}{2} -1}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^3 x}{x^3}\cdot \frac{1}{\frac{(1-\cos x)^\frac{3}{2}}{|x|^3}} \cdot \frac{x^4}{|x|^3}\ \frac{1}{e^\frac{x}{2} -1}$[/tex],
in cui i primi due fattori hanno limiti che sai calcolare per quanto visto prima.
L'ultimo passo è cercare di far sparire anche quell'esponenziale... Come faresti?
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{e^y-1}{y} =1$[/tex], [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} =1$[/tex] e [tex]$\lim_{y\to 0} \frac{1-\cos y}{y^2} =\frac{1}{2}$[/tex]?
Cerca di farli comparire dove servono.
Come?
Moltiplicando e dividendo per quantità opportune.
Ad esempio il limite del seno ti dice anche che:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{\sin^3 y}{y^3} =1$[/tex]
(basta elevare tutto al cubo), quindi al numeratore basta moltiplicare e dividere per [tex]$x^3$[/tex] per far uscire fuori un limite (quasi) notevole.
Invece, ricordato che il limite del coseno implica:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1-\cos y)^\frac{3}{2}}{(y^2)^\frac{3}{2}} =\left( \frac{1}{2}\right)^\frac{3}{2}$[/tex]
ossia:
[tex]$\lim_{y\to 0} \frac{(1-\cos y)^\frac{3}{2}}{|y|^3}=\frac{1}{\sqrt{8}}$[/tex],
al denominatore basta moltiplicare e dividere per [tex]$|x|^3$[/tex] per eliminare un pezzo di forma indeterminata.
Questi passaggi ti portano a scrivere:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{x\ \sin^3 x}{(e^\frac{x}{2} -1)\ (1-\cos x)^\frac{3}{2}} = \lim_{x\to 0} x\ \frac{\sin^3 x}{x^3}\ x^3\cdot \frac{1}{\frac{(1-\cos x)^\frac{3}{2}}{|x|^3}}\ \frac{1}{|x|^3}\cdot \frac{1}{e^\frac{x}{2} -1}$[/tex]
[tex]$=\lim_{x\to 0} \frac{\sin^3 x}{x^3}\cdot \frac{1}{\frac{(1-\cos x)^\frac{3}{2}}{|x|^3}} \cdot \frac{x^4}{|x|^3}\ \frac{1}{e^\frac{x}{2} -1}$[/tex],
in cui i primi due fattori hanno limiti che sai calcolare per quanto visto prima.
L'ultimo passo è cercare di far sparire anche quell'esponenziale... Come faresti?
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