Calcolo di un limite
Salve,
ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può darmi un aiutino? Magari un indirizzo, poi provo a proseguire io.
Grazie.
$\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)$
ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può darmi un aiutino? Magari un indirizzo, poi provo a proseguire io.
Grazie.
$\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)$
Risposte
Scrivi il limite così :$lim_(x->0+) 
sinx)/x*((sqrt(x))^2)/(1-cos(sqrt(x)))]=...$
sinx)/x*((sqrt(x))^2)/(1-cos(sqrt(x)))]=...$
"alfredo":
Salve,
ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può darmi un aiutino? Magari un indirizzo, poi provo a proseguire io.
Grazie.
$\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)$
$\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)=\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)*x/x=$
$\lim_{x\to0+}\(sinx/x)/((cos(sqrt(x))-1)/x)=$
questi son due limiti notevolissimi direi
Comunque sinceramente, se si applicassero gli sviluppi di Taylor quel limite si risolverebbe in un secondo....
"clrscr":
Comunque sinceramente, se si applicassero gli sviluppi di Taylor quel limite si risolverebbe in un secondo....
perchè scomodare taylor quando basta fare una esagerata somma - divisione x/x per farselo venire?
Grazie ad entrambi.
Allora, vediamo un po'. Il limite di un rapporto è equivalente al rapporto tra i limiti (sempre che il limite del denominatore non si annulli).
Mi tratto quindi i due limiti separatamente:
$\lim_{x\to0+}\(sinx/x)=1$
e:
$lim_{x\to0+}\(cos(sqrt(x))-1)/x=$ $lim_{x\to0+}\((cos(sqrt(x))-1)*(cos(sqrt(x))+1))/(x*(cos(sqrt(x))+1))=$
$=lim_{x\to0+}\(cos^2(sqrt(x))-1)/(x*(cos(sqrt(x))+1))=lim_{x\to0+}\(-sin^2sqrt(x))/(x*(cos(sqrt(x))+1))=$
$=lim_{x\to0+}\(-sinsqrt(x))/(sqrt(x))*(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*1/(cossqrt(x)+1)=$
$=lim_{x\to0+}\(-sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\1/(cossqrt(x)+1)=$
$=-lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\1/(cossqrt(x)+1)=$
$-1*1*1/2=-1/2$
A questo punto facciamo il rapporto tra i limiti ed otteniamo:
$=1/(-1/2)=-2$
Una sola domanda. Mi sembra di ricordare (scusate la ruggine trentennale!) che le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non siamo in presenza di forme indeterminate. Oppure ricordo male?
Grazie.
Allora, vediamo un po'. Il limite di un rapporto è equivalente al rapporto tra i limiti (sempre che il limite del denominatore non si annulli).
Mi tratto quindi i due limiti separatamente:
$\lim_{x\to0+}\(sinx/x)=1$
e:
$lim_{x\to0+}\(cos(sqrt(x))-1)/x=$ $lim_{x\to0+}\((cos(sqrt(x))-1)*(cos(sqrt(x))+1))/(x*(cos(sqrt(x))+1))=$
$=lim_{x\to0+}\(cos^2(sqrt(x))-1)/(x*(cos(sqrt(x))+1))=lim_{x\to0+}\(-sin^2sqrt(x))/(x*(cos(sqrt(x))+1))=$
$=lim_{x\to0+}\(-sinsqrt(x))/(sqrt(x))*(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*1/(cossqrt(x)+1)=$
$=lim_{x\to0+}\(-sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\1/(cossqrt(x)+1)=$
$=-lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\(sinsqrt(x))/(sqrt(x))*lim_{x\to0+}\1/(cossqrt(x)+1)=$
$-1*1*1/2=-1/2$
A questo punto facciamo il rapporto tra i limiti ed otteniamo:
$=1/(-1/2)=-2$
Una sola domanda. Mi sembra di ricordare (scusate la ruggine trentennale!) che le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non siamo in presenza di forme indeterminate. Oppure ricordo male?
Grazie.
Scusate se pongo ancora all'attenzione della comunità questo post ma, come si può evincere dalla mia ultima risposta, chiedevo se:
a. il risultato del limite è corretto (e con esso il procedimento eseguito per giungervi);
b. le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non siamo in presenza di forme indeterminate (e, in tal caso, il procedimento proposto sarebbe errato).
Grazie.
a. il risultato del limite è corretto (e con esso il procedimento eseguito per giungervi);
b. le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non siamo in presenza di forme indeterminate (e, in tal caso, il procedimento proposto sarebbe errato).
Grazie.
a. si
b. no
b. no
"alfredo":
b. le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non siamo in presenza di forme indeterminate (e, in tal caso, il procedimento proposto sarebbe errato).
In effetti le operazioni sui limiti sono ammesse solo se non si è in presenza i forme indeterminate, quindi hai ragione.
La parte tra parentesi, tuttavia, è errata: infatti tutte le operazioni che fai sotto il segno di limite sono, in realtà, fattibili in un intorno destro di $0$ (privato di tale punto ovviamente) e perciò del tutto lecite. Il procedimento che avete applicato al calcolo durante la discussione si chiama eliminazione della forma indeterminata: esso consente di esprimere a destra di $0$ la funzione sotto il segno di limite come prodotto di due funzioni regolari i cui limiti non costituiscono una forma indeterminata.
Grazie gugo. Il tuo intervento mi rasserena, e non poco.
"alfredo":
Salve,
ho provato in vari modi ma non riesco ad uscirne.
Qualcuno può darmi un aiutino? Magari un indirizzo, poi provo a proseguire io.
Grazie.
$\lim_{x\to0+}\sinx/(cos(sqrt(x))-1)$
utilizza il teorema dell'Hospital!
Ti ringrazio, ma le condizioni incluse nel testo dell'esercizio non lo consentivano.
"alfredo":
Ti ringrazio, ma le condizioni incluse nel testo dell'esercizio non lo consentivano.
si però la matematica dovrebbe semplificare la vita, non complicarla!!! Per questo motivo io utilizzo sempre quel teorema....
Per gli esami che darai, potrai decidere te...Spero...
"esteta_edonista":
si però la matematica dovrebbe semplificare la vita, non complicarla!!! Per questo motivo io utilizzo sempre quel teorema [di de l'Hospital, n.d. Gugo]....
Per gli esami che darai, potrai decidere te...Spero...
In molti casi usare i teoremi di de l'Hospital appesantisce i calcoli, rendendoli il più delle volte impossibili.
Gugo consiglia: quando puoi usare gli infinitesimi/infiniti equivalenti, fallo sempre.
(Poi non sta scritto da nessuna parte che la Matematica semplifichi la vita. Casomai è una buona calcolatrice a semplificarla!
)
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