Calcolo di un limite

[michele_7483]

Gentili utenti del forum,
non riesco a calcolare il seguente limite che si presenta nella forma indeterminata $[\frac{0}{0}]$
$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}-x-1}{x^2-x^3}$
non riesco a ricondurlo al limite notevole della forma $\lim_{f(x) \to 0} \frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$

In alternativa all'uso del limite notevole, usando il teorema di de l'Hopital, ottengo

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)-1}{2x-3x^2}$

che si presenta ancora nella stessa forma indeterminata, e quindi passando alla derivata seconda

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}(2x+1)^2+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\lim_{x \to 0}\frac{4x^2 e^{x^2+x}+4xe^{x^2+x}+e^{x^2+x}+2e^{x^2+x}}{2-6x}=\frac{3}{2}$

è corretto?
Potete aiutarmi? Grazie.

[gugo82]

Beh, a numeratore raggruppa l'esponenziale e $-1$ e moltiplica e dividi per qualcosa... Vedi che ne esce facendo un po' di calcoli.

[pilloeffe]

Ciao michele_7483,

"michele_7483":è corretto?

Sì, anche se io avrei usato lo sviluppo in serie di $e^{x^2 + x} $:

$ e^{x^2 + x} = 1 + (x^2 + x) + (x^2 + x)^2/2 + ... = 1 + x + x^2 + x^4/2 + x^3 + x^2/2 + ... \implies$

$ \implies e^{x^2 + x} - x - 1 = 3/2 x^2 + x^3 + o(x^4) $

Sicché si ha:

$ \lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2+x}-x-1}{x^2-x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{3/2 x^2 + x^3 + o(x^4) }{x^2-x^3} = 3/2 $

Col limite notevole citato invece la vedo dura...