Calcolo di un limite.

[Pasquale 90]

buongiorno,

devo calcolare il seguente limite, mediante i limiti notevoli,purtroppo non ho il risultato, vi chiedo se vi sembra corretto lo svolgimento, sia :
$lim_(x to 0^+)((tan^3(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))+ln(1+sin^2(x)))/(arctan^3(3x)+5^(x^4)-1))(sqrt((1+x+x^2)/(x^2))-1/x)$

Pongo

$I=((tan^3(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))+ln(1+sin^2(x)))/(arctan^3(3x)+5^(x^4)-1)),$
$II=(sqrt((1+x+x^2)/(x^2))-1/x).$

Risulta
$lim_(x to 0^+)I=lim_(x to 0^+) (([[tan^3((1+x^(2/3))^(1/3)-1))/(((1+x^(2/3))^(1/3)-1))]^3((1+x^(2/3))^(1/3)-1)^3+sin^2(x)[[ln(1+sin^2(x)))/(sin^2(x))]]/([arctan(3x)/(3x)]^3(3x)^3+x^4[(5^(x^4)-1)/x^4]))=cdots$
Adoperando:
1) $lim_(y to 0) tany/y=1=k$
2)$lim_(y to 0) arctany/y=1$
3)$lim_(y to 0) ln(1+y)/y=1$
4)$lim_(y to 0) (a^y-1)/y=ln(4)$
e le relative sostituzione risulta
$cdots=lim_(x to 0^+)(((1+x^(2/3))^(1/3)-1)^3+sin^(2)(x))/(27x^3+x^4)=lim_(x to 0)([((1+x^(2/3))^(1/3)-1)/(x^(2/3))]^3x^2+x^2[sinx/x]^2)/(27x^3+x^4)=cdots$
Adoperando:
5) $lim_(y to 0)((1+y)^k-1)/y$
con la relativa sostituzione risulta
$cdots=lim_(x to 0^+)(x^2/27+x^2)/(27x^3+x^4)=lim_(x to 0^+)(28/27)x^2/(x^3(27+ln(5)x))=28/27lim_(x to 0^+)1/(x(27+ln(5)x))$
Procedo con $II=(sqrt((1+x+x^2)/(x^2))-1/x)=(sqrt(1+x(1+x))/x-1/x)=(sqrt(1+x(1+x))-1)/x=(1+x)[(sqrt(1+x(1+x))-1)/(x(1+x))] to (1+x)/2\,\ \"per"\ x to 0^+ $, quindi
$lim_(x to 0^+)I*II=28/27lim_(x to 0^+)(1/(x(27+ln(5)x)))((1+x)/2)=14/27lim_(x to 0^+)(1+x)/(x(27+ln(5)x))=14/27(1/0^+)=+infty$

[gugo82]

No, vabbè... Ma così butti solo tempo.
Usa i limiti notevoli ma nella versione asintotica.

[Pasquale 90]

La prof. ci ha fatto vedere cosi a lezione... da questo, presumi che la mia prof. abbia tendenze sadomasistiche ?

[gugo82]

Questo modo di fare ha, come tutte le tecniche, i propri limiti nella pratica.
Quando devi fare calcoli lunghi, conviene, ad esempio, sostituire $tan^3 y$ con $y^3 + "o"(y^3)$ se $y->0$, piuttosto che moltiplicare e dividere selvaggiamente.

[Pasquale 90]

Capisco quello che vuoi dirmi, anzi ti ringrazio per il consiglio, in altre occasioni userò questa tecnica qualora me lo consentono, ma come detto ora non posso utilizzarla.
Grazie ancora

[gugo82]

"gugo82":Tra un po’ vedremo anche titoli del tipo: “Risoluzione con un braccio legato dietro la schiena” oppure “Risoluzione scrivendo con la penna tra le dita del piede sinistro”…

Scaveresti mai un solco da semina con un cacciavite avendo a disposizione una zappa?
Se ci sono gli strumenti, vanno usati.

Inoltre, l'essenza dello studio è diventare autonomi nella scelta dei ragionamenti e degli strumenti.