CALCOLO DI UN LIMITE

[Fabior25]

Salve a tutti. Devo risolvere questo limite con l'utilizzo dei limiti notevoli, però purtroppo non ho idea su come farlo. Vi ringrazio.
$ Lim x->1 [(1+senx - sen1)^logx -1]/(x-1)^2 $

[Cantor99]

$(1+sin(x)-sin(1))^log(x)-1=e^[log(x)log(1+sin(x)-sin(1))]-1$
Dunque
$lim_(x->1)(\frac{e^[log(x)log(1+sin(x)-sin(1))]-1}{log(x)log(1+sin(x)-sin(1)})*(\frac{log(x)}{x-1})*(\frac{log(1+sin(x)-sin(1))}{sin(x)-sin(1)})*(\frac{sin(x)-sin(1)}{x-1})=1*1*1*cos(1)=cos(1)$
Dove per $lim_(x->1)\frac{log(x)}{x-1}=1$ ho usato la sostituzione $y=x-1$ mentre per $lim_(x->1)\frac{sin(x)-sin(1)}{x-1}=cos(1)$ ho usato la definizione di derivata (ma puoi sempre operare con $y=x-1$)

Per curiosità, l'hai preso dalla pagina di Nicola Fusco? Perché mi è capitato in una sua prova intercorso

[Fabior25]

Grazie mille...

[pilloeffe]

Ciao Fabior25,

Benvenuto sul forum!

La soluzione proposta da Cantor99 è corretta. Segnalo solo che il limite proposto si semplifica un po' e si riescono a vedere meglio i limiti notevoli da utilizzare se si pone dall'inizio $h := x - 1 = x - x_0 \implies x = x_0 + h = 1 + h $:

$ lim_{x \to 1} frac{(1+ sinx - sin1)^logx -1}{(x-1)^2} = lim_{h \to 0} frac{[1+ sin(1 + h) - sin1]^{log(1 + h)} - 1}{h^2} $

proseguendo poi come ti ha già suggerito Cantor99.

[Fabior25]

Si cantor99
Grazie pilloeffe

[gugo82]

Tanto per semplificare ulteriormente, è:
\[
\sin x - \sin 1 = 2 \cos \frac{x+1}{2}\ \sin \frac{x-1}{2}\; ,
\]
per formule di prostaferesi.

[gio73]

@fabio
cambia il titolo in tutto minuscolo, trovi il tasto modifica in alto a destra

[Cantor99]

Prego @Fabior25