Calcolo di un limite.
Buonasera,
Dovrei calcolare il seguente limite
\(\displaystyle lim_{x\to 0}\tfrac{sin(e^x - 1) - x - \tfrac{x^2}{2}}{x^4}\).
Ora se sostituisco ottengo la forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \tfrac{0}{0} \), invece il risultato è \(\displaystyle -5/24\).
Ora la risoluzione del limite viene fatta con Taylor. Mi chiedo è possibile in un altra maniera?
Ciao
Dovrei calcolare il seguente limite
\(\displaystyle lim_{x\to 0}\tfrac{sin(e^x - 1) - x - \tfrac{x^2}{2}}{x^4}\).
Ora se sostituisco ottengo la forma indeterminata del tipo \(\displaystyle \tfrac{0}{0} \), invece il risultato è \(\displaystyle -5/24\).
Ora la risoluzione del limite viene fatta con Taylor. Mi chiedo è possibile in un altra maniera?
Ciao
Risposte
francamente Taylor è sicuramente la via naturale... visto quel 24 al numeratore sicuramente andrebbe bene anche de l'Hopital, ma dovresti derivare tre o quattro volte il numeratore, e sono solo contazzi inutili. Morale della favola: meglio usare Taylor, tanto devi sviluppare solo il termine col seno
Ma xkè non è possibile con gli infiniti e infinitesimi ?
Come faccio a capire quale sia la scelta migliore per calcolarmi il limte.
Come faccio a capire quale sia la scelta migliore per calcolarmi il limte.
Ciao galles90,
Quando vedi dei segni $- $ a numeratore o a denominatore devi sospettare che vi siano cancellazioni e quindi gli sviluppi in serie sono la via più naturale come ti ha già consigliato feddy...
Infatti:
$ lim_{x\to 0} frac{sin(e^x - 1) - x - frac{x^2}{2}}{x^4} = lim_{x\to 0} frac{x + x^2/2 - frac{5x^4}{24} + o(x^5) - x - frac{x^2}{2}}{x^4} = $
$ = lim_{x\to 0} [- frac{5}{24} + o(x)] = - 5/24 $
"galles90":
Come faccio a capire quale sia la scelta migliore per calcolarmi il limite.
Quando vedi dei segni $- $ a numeratore o a denominatore devi sospettare che vi siano cancellazioni e quindi gli sviluppi in serie sono la via più naturale come ti ha già consigliato feddy...
Infatti:
$ lim_{x\to 0} frac{sin(e^x - 1) - x - frac{x^2}{2}}{x^4} = lim_{x\to 0} frac{x + x^2/2 - frac{5x^4}{24} + o(x^5) - x - frac{x^2}{2}}{x^4} = $
$ = lim_{x\to 0} [- frac{5}{24} + o(x)] = - 5/24 $
Perfetto grazie come sempre !
"galles90":
Ma xkè non è possibile con gli infiniti e infinitesimi ?
Come faccio a capire quale sia la scelta migliore per calcolarmi il limte.
sono contento che pilloeffe (fin troppo gentile
) ti abbia chiarito le idee. Però vorrei farti capire che da questo limite con sta storia di infiniti e infinitesimi non te ne esci. Cioè, così facendo come tratti $\sin(e^x -1)$? A parte Taylor non mi pare che ci sia molto altro da fare.
"feddy":
Cioè, così facendo come tratti $ \sin(e^x -1) $?
In effetti ho provato, non so se il procedimento se è giusto, comunque:
nel punto $x=0$
\(\displaystyle \sin(e^x -1) \sim e^x-1 \)
quindi \(\displaystyle f(x)=\tfrac{sin(e^x -1)-x-\tfrac{x^2}{2}}{x^4} = \tfrac{sin(e^x -1)}{x^4}-\tfrac{1}{x^3}-\tfrac{1}{2x^2} \sim \tfrac{(e^x -1)}{x^4}-\tfrac{1}{x^3}-\tfrac{1}{2x^2} \).
Applicando il limite all'ultima relazione, si ha
\(\displaystyle lim_{x \to 0} \tfrac{(e^x -1)}{x^4}-\tfrac{1}{x^3}-\tfrac{1}{2x^2}=lim_{x \to 0} \tfrac{1}{x^3}- \tfrac{1}{x^3}-\tfrac{1}{2x^2}=-lim_{x \to 0}\tfrac{1}{x^2}=-\infty \)
Ma in quel modo non usi 'infiniti e infinitesimi', bensì stai usando un limite notevole ( che altro non è che Taylor arrestato al prim'ordine). Come vedi così facendo il limite viene anche sbagliato: sviluppando ancora riesci a produrre al numeratore una differenza significativa che permette di risolvere il limite
$e^x-1=-1+1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)+o (x^4)=x+x^2/2+x^3/6+o (x^4) $
Ponendo $t=e^x-1$ e sviluppando $sint $ avrai
$sint=t-t^3/6+o (t^3) $ ossia $sin(e^x-1)=(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24 ))-(x+x^2+x^3/6+x^4/(24))^3/6+o(x^4) $ $=(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))-(x^3+3x^4/2)/6+o (x^4) $ $=x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)-x^3/6-3x^4/(12)+o (x^4) $ $=x+x^2/2-5x^4/(24)+o (x^4) $, che è lo sviluppo corretto e permette di calcolare il valore esatto del limite.
Nel tuo procedimento ti arresti ad $sint=t+o (t)$ ossia l'asintotico $sint~~t $, cioè $sin(e^x-1)=x+x^2/2+x^3/6$ che non considera i termini successivi dello sviluppo necessari al calcolo del valore corretto del limite, che sarà quel termine $-5x^4/(24) $, che compare sviluppando in serie sino al termine in $x^4$, visto che il termine $x^3/6$ si
annulla nello somma algebrica dello sviluppo.
Ponendo $t=e^x-1$ e sviluppando $sint $ avrai
$sint=t-t^3/6+o (t^3) $ ossia $sin(e^x-1)=(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24 ))-(x+x^2+x^3/6+x^4/(24))^3/6+o(x^4) $ $=(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))-(x^3+3x^4/2)/6+o (x^4) $ $=x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24)-x^3/6-3x^4/(12)+o (x^4) $ $=x+x^2/2-5x^4/(24)+o (x^4) $, che è lo sviluppo corretto e permette di calcolare il valore esatto del limite.
Nel tuo procedimento ti arresti ad $sint=t+o (t)$ ossia l'asintotico $sint~~t $, cioè $sin(e^x-1)=x+x^2/2+x^3/6$ che non considera i termini successivi dello sviluppo necessari al calcolo del valore corretto del limite, che sarà quel termine $-5x^4/(24) $, che compare sviluppando in serie sino al termine in $x^4$, visto che il termine $x^3/6$ si
annulla nello somma algebrica dello sviluppo.
Ciao francicko, ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari
1)
il punto che non mi è chiaro è il numeratore del sottraendo, cioè $x^2$ non dovrebbe essere $x^2/2$ ?
e poi come hai fatto a sviluppare il cubo ?
Invece feddy, voglio chiarire prima questa incertezza.
Ciao
1)
"francicko":
$ sin(e^x-1)=(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24 ))-(x+x^2+x^3/6+x^4/(24))^3/6+o(x^4) $
il punto che non mi è chiaro è il numeratore del sottraendo, cioè $x^2$ non dovrebbe essere $x^2/2$ ?
e poi come hai fatto a sviluppare il cubo ?
Invece feddy, voglio chiarire prima questa incertezza.
Ciao
"galles90":
Invece feddy, voglio chiarire prima questa incertezza.
quale incertezza?
nel messaggio precedente di francicko c'è un passaggio che non mi è chiaro, cioè quello che ho fatto presente.
Sì ovvio, manca una $x^2/2$. Evidentemente nella fretta non l'ha trascritto
"feddy":
Sì ovvio, manca una $ x^2/2 $. Evidentemente nella fretta non l'ha trascritto
L'avevo capito, ma volevo essere sicuro.
Invece per la seconda domanda
Ciao
Quale seconda domanda?
Come è stato sviluppato il cubo ?
$ -(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^3/6=-(x^3+3x^4/2)/6 $
Perché anche se vedessi $(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^3$ come $(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^2(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))$
il primo fattore dopo alcuni raccoglimenti, lo potrei vedere come il quadrato di un trinomio, ma questa conclusione mi porta a qualcosa di molto laborioso. Quindi questa non penso che sia la strada giusta.
Ciao
$ -(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^3/6=-(x^3+3x^4/2)/6 $
Perché anche se vedessi $(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^3$ come $(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))^2(x+x^2/2+x^3/6+x^4/(24))$
il primo fattore dopo alcuni raccoglimenti, lo potrei vedere come il quadrato di un trinomio, ma questa conclusione mi porta a qualcosa di molto laborioso. Quindi questa non penso che sia la strada giusta.
Ciao
Basta ed è sufficiente sviluppare il cubo del binomio $(x+x^2/2)^3$ e questo perché i termini infinitesimi che vanno a zero più velocemente di $x^4$, e che racchiudiamo comodamente nel simbolo $o (x^4) $ , sono trascurabili in una somma algebrica, e non ci interessano in quanto a denominatore abbiamo un unico termine che è $x^4$, pertanto alla fine i termini dello sviluppo del cubo che ci interessano sono $-(x^3/6+3x^4/(12))+o (x^4) $, gli altri elementi ci limitiamo a racchiudere in $o (x^4) $, e non risultano utili ai fini del calcolo del limite.
Perfetto,
l'ultima cosa, su quali criteri hai scelto questo $ (x+x^2/2)^3 $.
Ti dico la mia, si è preso questo cubo $ (x+x^2/2)^3 $ perchè sviluppandolo si ha il termine $x^4$ che è quello che interessa a noi .
l'ultima cosa, su quali criteri hai scelto questo $ (x+x^2/2)^3 $.
Ti dico la mia, si è preso questo cubo $ (x+x^2/2)^3 $ perchè sviluppandolo si ha il termine $x^4$ che è quello che interessa a noi .
Esatto, bravo, infatti se sviluppi il cubo $(x+x^2/2)^3=x^3+3x^2x^2/2+(3x)x^4/4+x^6/8$, si possono trascurare i termini di grado superiore al quarto che si ottengono $3x^5/4$ ed $x^6/8$, se avessi considerato il
cubo $(x+x^2/2+x^3/6)^3$,avrei fatto solo un calcolo superfluo in quanto il termine $x^3/6$ nello sviluppo del cubo contribuisce a generare solamente termini di grado superiore al quarto cioè $o (x^4) $.
cubo $(x+x^2/2+x^3/6)^3$,avrei fatto solo un calcolo superfluo in quanto il termine $x^3/6$ nello sviluppo del cubo contribuisce a generare solamente termini di grado superiore al quarto cioè $o (x^4) $.
Perfetto tutto chiaro allora
Grazie a presto.
Grazie a presto.
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