Calcolo di un limite
Non riesco a calcolare questo limite, qualcuno può aiutarmi?
Inoltre, che forma indeterminata è? È della forma indeterminata 0 * -infinito ?
Perchè secondo il mio ragionamento il primo fattore tende a 0 ed il secondo tende a -infinito
$\lim_{x \to \infty}(1/x) * log((2x+1)/(x^2+x-2))$
Inoltre, che forma indeterminata è? È della forma indeterminata 0 * -infinito ?
Perchè secondo il mio ragionamento il primo fattore tende a 0 ed il secondo tende a -infinito
$\lim_{x \to \infty}(1/x) * log((2x+1)/(x^2+x-2))$
Risposte
Ciao simki,
Userei la regola di de l'Hôpital. Si ha:
$ lim_{x \to \infty}(1/x) log((2x+1)/(x^2+x-2)) = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{ log((2x+1)/(x^2+x-2))}{x} \overset{H} = lim_{x \to \infty} (x^2+x-2)/(2x + 1) \cdot frac{2x^2 + 2x - 4 - (2x + 1)^2}{(x^2+x-2)^2} = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot frac{2x^2 + 2x - 4 - (2x + 1)^2}{x^2+x-2} = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot (2 - frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2+x-2}) = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot lim_{x \to \infty} (2 - frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2+x-2}) = 0 \cdot (2 - 4) = 0$
Userei la regola di de l'Hôpital. Si ha:
$ lim_{x \to \infty}(1/x) log((2x+1)/(x^2+x-2)) = $
$ = lim_{x \to \infty} frac{ log((2x+1)/(x^2+x-2))}{x} \overset{H} = lim_{x \to \infty} (x^2+x-2)/(2x + 1) \cdot frac{2x^2 + 2x - 4 - (2x + 1)^2}{(x^2+x-2)^2} = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot frac{2x^2 + 2x - 4 - (2x + 1)^2}{x^2+x-2} = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot (2 - frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2+x-2}) = $
$ = lim_{x \to \infty} 1/(2x + 1) \cdot lim_{x \to \infty} (2 - frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2+x-2}) = 0 \cdot (2 - 4) = 0$
\[ \lim_{n \to + \infty } { \left ( \frac{1}{x} \right ) \log \left( \frac{2x + 1} {x^2 + x -2} \right ) } = { \left ( \frac{1}{x} \right ) \log \left( \frac{2x + 1} {x^2 + x -2} \right ) } \]
Non scherzo. Per \(n \to + \infty\), quella funzione, che non dipende da \(n\), si vede bene dal cambiare in un qualunque modo. È evidente ciò che tu intendessi e che sia stata una svista, ma ho voluto fartelo notare per precisione
Non scherzo. Per \(n \to + \infty\), quella funzione, che non dipende da \(n\), si vede bene dal cambiare in un qualunque modo. È evidente ciò che tu intendessi e che sia stata una svista, ma ho voluto fartelo notare per precisione
Grazie mille, comunque si, la n è rimasta dal copia e incolla che ho fatto dalla pagina delle formule
×@pilloeffe.
Si poteva risolvere nel modo seguente , evitando di applicare direttamente Hopital ed usando le proprietà dei logaritmi e le gerarchie di infinito, mi sbaglio?
$lim_(x->+infty)(1/x)log ((2x+1)/(x^2+x-2)) $ $=lim_(x->+infty)(1/x)log( (2x)/x^2) $ $=lim_(x->+infty)(1/x)log(2/x)$ $=lim_(x->+infty)(1/x)(log2-logx)$ $=lim_(x->+infty )(log2/x-logx/x)=lim_(x->+infty)log2/x-lim_ (x->+infty)logx/x=0-0=0$
Si poteva risolvere nel modo seguente , evitando di applicare direttamente Hopital ed usando le proprietà dei logaritmi e le gerarchie di infinito, mi sbaglio?
$lim_(x->+infty)(1/x)log ((2x+1)/(x^2+x-2)) $ $=lim_(x->+infty)(1/x)log( (2x)/x^2) $ $=lim_(x->+infty)(1/x)log(2/x)$ $=lim_(x->+infty)(1/x)(log2-logx)$ $=lim_(x->+infty )(log2/x-logx/x)=lim_(x->+infty)log2/x-lim_ (x->+infty)logx/x=0-0=0$
Ciao francicko,
No, non ti sbagli... Anzi, direi che la soluzione che hai proposto ha il pregio della brevità, qualità che non ha la mia, che però per contro ha il pregio di far sparire i logaritmi e di pervenire al limite di una semplice funzione razionale.
"francicko":
Si poteva risolvere nel modo seguente , evitando di applicare direttamente Hopital ed usando le proprietà dei logaritmi e le gerarchie di infinito, mi sbaglio?
No, non ti sbagli... Anzi, direi che la soluzione che hai proposto ha il pregio della brevità, qualità che non ha la mia, che però per contro ha il pregio di far sparire i logaritmi e di pervenire al limite di una semplice funzione razionale.
ciao ragazzi, $log((2x+1)/(x^2+x-2))$ è diventata $log((2x)/x^2)$ perché $(2x+1)/(x^2+x-2)$ è asintotico a $(2x)/x^2$?
ma la docente aveva detto che l'asintotico non si mantiene tra somme e differenze...
questo esercizio come andrebbe fatto se svolto con $o$ piccolo?
ma la docente aveva detto che l'asintotico non si mantiene tra somme e differenze...
questo esercizio come andrebbe fatto se svolto con $o$ piccolo?
Più che altro perché se raccogli la $x$ con grado più alto sia sopra che sotto, se applichi il limite sicuramente i termini con il grado della $x$ più piccolo tendono a zero e quindi puoi eliminarli nel calcolo del limite così puoi prendere solo i termini con grado maggiore sopra e sotto.
Ah ok ok, hai ragione 
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