Calcolo di un limite
Ciao a tutti 
Devo calcolare il limite
$ lim _(x->+oo)((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3) $
Mi viene suggerito di passare alla forma
$ lim _(x->+oo)e^((x+3)ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))) $
Mi viene poi detto che posso giungere al risultato con un trucco algebrico... non saprei proprio come però.
Qualche idea?
Grazie!
Devo calcolare il limite
$ lim _(x->+oo)((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))^(x+3) $
Mi viene suggerito di passare alla forma
$ lim _(x->+oo)e^((x+3)ln((x^2+2x+3)/(x^2-x+1))) $
Mi viene poi detto che posso giungere al risultato con un trucco algebrico... non saprei proprio come però.
Qualche idea?
Grazie!
Risposte
non è che ci sia una qualche magia da fare. devi raccogliere il termine di ordine infinito maggiore. prova a farlo e vedere cosa succede.
Nell'argomento del logaritmo dovrei considerare solo $ x^2 $ a numeratore e a denominatore, essendo gli infiniti di ordine maggiore. Semplificando ottengo $ ln1=0 $, e quindi $ e^0 = 1 $.
Il risultato dovrebbe però essere $ e^3 $.
Il risultato dovrebbe però essere $ e^3 $.
Ciao. Ecco il trucco algebrico in questione:
$(x^2+2x+3)/(x^2-x+1)=(x^2-x+1+3x+2)/(x^2-x+1)=1+(3x+2)/(x^2-x+1)$
Adesso puoi sviluppare il logaritmo perché $(3x+2)/(x^2-x+1)$ è infinitesimo.
$(x^2+2x+3)/(x^2-x+1)=(x^2-x+1+3x+2)/(x^2-x+1)=1+(3x+2)/(x^2-x+1)$
Adesso puoi sviluppare il logaritmo perché $(3x+2)/(x^2-x+1)$ è infinitesimo.
Weierstress non mi è proprio chiaro ancora...
In questo modo il logaritmo verrebbe sostituendo $ ln1=0 $, per cui verrebe una forma di indecisione all'esponente del tipo $ oo0 $ . dove sbaglio?
In questo modo il logaritmo verrebbe sostituendo $ ln1=0 $, per cui verrebe una forma di indecisione all'esponente del tipo $ oo0 $ . dove sbaglio?
Non capisco il tuo dubbio:
$log(1+(3x+2)/(x^2-x+1))~(3x+2)/(x^2-x+1)~3/x$ per $xrarrinfty$
$log(1+(3x+2)/(x^2-x+1))~(3x+2)/(x^2-x+1)~3/x$ per $xrarrinfty$
giusto per completezza rispetto al consiglio che ti ho dato:
$log([x^2(1+2/x+3/x^2)]/[x^2(1-1/x+1/x^2)])=log(1+2/x+3/x^2)-log(1-1/x+1/x^2)=3/x+o(1/x) ~ 3/x$
in $x+3$ prevale x e quindi ottieni $e^(x*3/x)=e^3$
$log([x^2(1+2/x+3/x^2)]/[x^2(1-1/x+1/x^2)])=log(1+2/x+3/x^2)-log(1-1/x+1/x^2)=3/x+o(1/x) ~ 3/x$
in $x+3$ prevale x e quindi ottieni $e^(x*3/x)=e^3$
Chiaro! Non sapevo questa cosa che il limite notevole è ugualmente applicabile anche per $ x->oo $ se l'incognita che compare all'interno della funzione che fa parte del limite notevole è infinitesima per $ x->oo $.
Grazie!!
Grazie cooper ora è chairissimo!
Grazie!!
Grazie cooper ora è chairissimo!
il limite notevole è il seguente: $log(1+epsilon_n)~epsilon_n$ per $epsilon_n -> 0$ (infinitesimo). come tende a zero non importa, basta che lo faccia. lo stesso discorso vale ovviamente per tutti i limiti notevoli.
Perfetto! Difficile a credersi ma non lo sapevo... 
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