Calcolo di un limite

[hero_vale]

Ciao a tutti

Devo calcolare il seguente limite

$ lim_(x -> 0) ((4^x-2^x)/(5^x-3^x)) $

Non so proprio come impostarlo

Sarebbe meglio una risoluzione senza Taylor ne Hospital, visto che a quanto pare leggo possa essere risolto molto rapidamente con raccoglimenti e limiti notevoli, anche se non so bene come.

Grazie

[cooper1]

$ 4^x - 2^x =-2^x(1-(4/2)^x)=2^x(1-2^x) $
a denominatore fai la stessa cosa con $3^x$ e poi sfrutti per esempio il fatto che $2^x^e^(xlog2)$ e poi il limite notevole dell'esponenziale

[Weierstress]

Anche con Taylor questo limite è praticamente istantaneo. Basta usare un trucchetto:

$(4^x-2^x)/(5^x-3^x)=(e^(xlog4)-e^(xlog2))/(e^(xlog5)-e^(xlog3))=(x(log4-log2)+o(x))/(x(log5-log3)+o(x))=(log2)/(log(5/3))$

[hero_vale]

Weierstress:

Grazie per la risposta! Si in effetti con Taylor è molto semplice.

Cooper:

In pratica

$ lim_(x -> 0) (2^x(1-2^x))/(3^x((5/3)^x-1)) = lim_ (x -> 0) 2^x/3^x=lim_ (x ->0)
(e^(xln2)/e^(xln3))= $

$ = lim_(x->0) ((e^(xln2)-1)+1)/((e^(xln3)-1)+1)=lim_(x->0)(xln2)/(xln3)=ln2/ln3 $

che sarebbe corretto.

Grazie!!

[cooper1]

a me sinceramente non sembra corretto ed anche la soluzione dell'altro utente lo conferma. hai fatto un po'di pasticci.
$ lim_(x -> 0) (2^x(-1+2^x))/(3^x((5/3)^x-1)) = lim_ (x -> 0) 2^x/3^x((1-e^(xln2))/(1-e^(xln(5/3))))= lim_(x->0)(2/3)^x (xln2)/(xln(5/3)) $
da cui il risultato

[hero_vale]

Si è vero mi sono sbagliato. Il pdf riporta proprio questo risultato...

Comunque è chiaro non avevo capito di dover applicare il limite di e in questo modo.

Grazie mille ancora!