Calcolo di un limite
Sia $F(x)=\int_{0}^{x} cos(\frac{\pi}{2(t+1)})\ dt$. Calcolare $\lim _{x\rightarrow +infty} F(x)-x$.
Ho provato a scrivere $F(x)-x=\int_{0}^{x} (cos(\frac{\pi}{2(t+1)})-1)\dt$. Innanzitutto si osserva che tale integrale improprio è convergente (ad esempio usando lo sviluppo del coseno e il criterio del confronto asintotico). Ora, per calcolare il limite invece ho provato sia per sostituzione ché per parti, ottenendo integrali di cose come sinx/x, la quale non sono scrivibili come funzioni elementari... Qualche idea?
Ho provato a scrivere $F(x)-x=\int_{0}^{x} (cos(\frac{\pi}{2(t+1)})-1)\dt$. Innanzitutto si osserva che tale integrale improprio è convergente (ad esempio usando lo sviluppo del coseno e il criterio del confronto asintotico). Ora, per calcolare il limite invece ho provato sia per sostituzione ché per parti, ottenendo integrali di cose come sinx/x, la quale non sono scrivibili come funzioni elementari... Qualche idea?
Risposte
Forse puoi risolverlo esprimendo il coseno come serie di potenze.
Per parti...
$\int_{0}^{x}(\cos(\frac{\pi}{2(t+1)})-1)dt=(x+1)(\cos(\frac{\pi}{2(x+1)})-1)-\frac{\pi}{2}\int_{0}^{x}\frac{\sin(\frac{\pi}{2(t+1)})}{t+1}$
E ora a te qualche sostituzione da fare ($t+1 \mapsto u$ e $1/u \mapsto v$. Nota che il primo addendo del secondo membro passando al limite è $0$
$\int_{0}^{x}(\cos(\frac{\pi}{2(t+1)})-1)dt=(x+1)(\cos(\frac{\pi}{2(x+1)})-1)-\frac{\pi}{2}\int_{0}^{x}\frac{\sin(\frac{\pi}{2(t+1)})}{t+1}$
E ora a te qualche sostituzione da fare ($t+1 \mapsto u$ e $1/u \mapsto v$. Nota che il primo addendo del secondo membro passando al limite è $0$
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