Calcolo di un limite!

[rikideveloper]

Salve non riesco a capire un passaggio in un esercizio di analisi, l'esercizio è il seguente:

Calcolare il limite:

$ lim
x->0[cos(x)^(1/(xsin(x)))] $

questa è forma indertermita 1 all'infinito e fin qui nessun problema, continua:

$ lim
x->0[cos(x)^(1/(xsin(x)))] $ = $ lim x->0[e^((log)^(cos(x)^(1/(xsin(2x)))))] $

qui non ho capito perché scrive e^log(..), mi spiegate da dove salta fuori questo?

[kobeilprofeta]

$t=e^{log(t)}$... è la definizione di logaritmo

[francicko]

Sì può risolvere facilmente in due modi comunque sempre facendo ricorso agli asintotici:
$cosx~(1-x^2/2)$, inoltre $1/(xsinx)~1/x^2$ sostituendo il limite diventa:
$lim_(x->0)(1-x^2/2)^(1/x^2) $ dividendo e moltiplicando ad esponente per $-2$, avremo ancora
$lim_(x->0)((1-x^2/2)^(-2/x^2))^(-1/2) $ $=e^(-1/2)=1/sqrt(e)$
Oppure mettendolo nella forma:
$e^(log(cosx)^(1/(xsinx))) $
ed calcolando il limite della quantità ad esponente
usando l'asintotico $log(1-x^2/2)~-x^2/2$, come segue:
$lim_(x->0)log (cosx)^(1/(xsinix))$ $=lim_(x->0)(1/(xsinx)logcosx $ $=lim_(x->0)(1/x^2)×log (1-x^2/2) $ $=lim_(x->0)(1/x^2)×(-x^2/2)=-1/2$, e sostituendo al limite iniziale avremo $e^(-1/2)=1/(sqrt (e)) $ che e' il valore esatto del limite.