Calcolo di un limite

[davide940]

Dovrei calcolare il limite
$ lim_(n -> oo) root(n)(n!) $
Premetto che il professore non ha spiegato la formula di Strirling quindi lo devo risolvere ricorrendo a maggiorazioni o metodi simili
io ho provato così
$ lim_(n -> oo) e^ln(root(n)(n!)) $
$ lim_(n -> oo) e^(1/n ln(n!)) $
$ lim_(n -> oo) 1/n ln(n!) $
$ lim_(n -> oo) 1/n (ln(n) + ln(n-1) + ln(n-2) + ... + ln(1)) $
uso Hopital
$ lim_(n -> oo) 1/n + 1/(n-1) + .... 1 $
Ora è corretto dire che il limite è $ oo $ perchè somma di infiniti termini che tendono a zero?
Se così fosse allora
$ lim_(n -> oo) root(n)(n!) = oo $

[Mino_01]

Buona sera
sussiste il seguente teorema:
Se la successione $a_n/a_(n-1)$ è regolare lo è anche la successione $ root(n)(a_n) $ e i due limiti coincidono.
Utile alla risoluzione del limite in questione.

Se non erro il teorema è di Ernesto Cesaro della bellissima Torre Annunziata (NA).
A mò di tributo:

http://it.wikipedia.org/wiki/Ernesto_Ces%C3%A0ro

Saluti
Mino