Calcolo di un limite

[Spyshok]

$ lim_(x -> 0) (2x*sen3x - 6ln(1+x^2))/(1-cos2x^2) $


vorrei calcolare il limite utilizzando le stime asintotiche, da quello che ho capito sen, ln e cos sono asintotici ai loro argomenti e quindi
$ sen3x~ 3x $
segue che
$ 2x*sen3x~ 2x*3x $
facendo lo stesso per il ln e per il coseno
$ 6*ln(1+x^2)~ 6*(1+x^2) $
$ 1 - cos2x^2 ~ 1- 2x^2 $
... facendo il limite mi risulta -6 ma dovrebbe uscire -3.. sbaglio qualcosa nel calcolo delle stime?
grazie in anticipo a chi mi aiuterà

[Frink1]

Le stime di $ log $ e $ cos $ sono sbagliate, infatti

$ log(1+x)~ x $

$ 1-cos(x)~ 1/2x^2 $

con $ x -> 0 $

[Spyshok]

ok, quindi
$ 1-cos2x^2~ 1/2(2x^2)^2 $ è cosi?
quella di
$ log(1+x^2) $ com'è invece?

[Frink1]

Quella del coseno è ok, per il logaritmo devi fare la stessa cosa. Vedila così, hai

$ log(1+@ ) $ con $ @ -> 0 $ .

Ora,

$ log(1+@ )~ @ $

Sostituisci il pallino con qualsiasi cosa che tende a zero e hai la risposta

[Spyshok]

a questo punto però il limite

$ lim (6x^2 - 6x^2)/(2x^4) $

sopra esce 0 e non riesce

[ciampax]

Perché stai sviluppando ad ordini troppo bassi. Devi usare uno sviluppo di McLaurin delle funzioni ad ordini maggiori. Dal momento che a denominatore $\log(1+x^4)=x^4+o(x^4)$, a numeratore devi sviluppare, almeno, fino al quarto ordine.

[Spyshok]

quindi devo usare mclaurin e non posso calcolarlo con le stime asintotiche?

[ciampax]

Esatto, del resto lo vedi da te che con le stime asintotiche non risolvi niente.