Calcolo di un limite.

[_GaS_11]

Calcolare il limite di: $a_n=(5^(n)n^n-50^n-n^4e^(3n))/(n(e)^(2n)+n^(n+5logn)+3^n)$.
Direi di procedere per asintotici.
DENOMINATORE:
- Da un limite notevole ricaviamo ( come conseguenza ): $n+5logn~n=>n^(n+5logn)~n^n$.
- $(e^2/3)^ntooo=>n(e)^(2n)+3^n~n(e)^(2n)$.
- $n^n/((n)e^(2n))=1/n(n/e^2)^ntooo=>(n)e^(2n)+n^n~n^n$.
Quindi il denominatore è asintotico a '' $n^n$ ''.
NUMERATORE.
- $1/n^4(50/e^3)^ntooo=>-50^n-n^4e^(3n)~-50^n$.
- $5^(n)n^n/(50^n)=n^n/10^ntooo=>5^(n)n^n-50^ntooo~5^(n)n^n$.
Quindi il numeratore è asintotico a '' $5^(n)n^n$ ''. Allora:
$a_n~5^(n)n^n/n^n=5^ntooo$.
Chiedo se quanto svolto sia corretto.

[_GaS_11]

Sono stato troppo precipitoso! Per l'esponente è vero, in quanto conseguenza del limite notevole: $n^b/(log^an)tooo,a>0,b>0$.
Quindi: $n+5logn~n$. Però non è vero per le'esponenziale, come da te fatto notare. Il resto è esatto, pertanto abbiamo: $a_n~5^(n)n^n/(n^(n)n^(5logn))=5^n/n^(5logn)$.
Ho provato più strade, ma la più comoda è quella del criterio del rapporto: $a_(n+1)/a_n$. Da cui:
$5^(n+1)/((n+1)^(5log(n+1)))n^(5logn)/5^nto5$. Quindi '' $a_ntooo$ ''.
Dovrebbe essere risolto.