Calcolo di un limite...
Ciao a tutti, nel libro dal quale sto studiando vi è riportato questo esempio
$lim_(x->infty) (x sen 1/x)$
Il risultato di questo esercizio è $1$, e lo ottiene sostituendo $z=1/x$ ($z->0$ per $x->infty$), quindi viene
$lim_(z->0) (sen z/z) = 1$
E qua la prima domanda: come mai fa $1$? Mi spiegate esattamente il senso di quel passaggio? Si semplifica lo $z$ al numeratore con lo $z$ al denominatore? Ed in questo caso come fa il $sen$ da solo a fare $1$?
Tuttavia sono però molto più incuriosito dal secondo esercizio, o meglio:
$lim_(x->infty) (x sen^2 1/x)$
Dal momento che il risultato dovrebbe essere $0$!
Come mai per il primo esercizio il risultato è $1$ mentre per il secondo è $0$? Perché quel $sen^2$ è così influente?
Grazie mille e chiedo scusa in anticipo se mi sono spiegato non in maniera eccelsa.
$lim_(x->infty) (x sen 1/x)$
Il risultato di questo esercizio è $1$, e lo ottiene sostituendo $z=1/x$ ($z->0$ per $x->infty$), quindi viene
$lim_(z->0) (sen z/z) = 1$
E qua la prima domanda: come mai fa $1$? Mi spiegate esattamente il senso di quel passaggio? Si semplifica lo $z$ al numeratore con lo $z$ al denominatore? Ed in questo caso come fa il $sen$ da solo a fare $1$?
Tuttavia sono però molto più incuriosito dal secondo esercizio, o meglio:
$lim_(x->infty) (x sen^2 1/x)$
Dal momento che il risultato dovrebbe essere $0$!
Come mai per il primo esercizio il risultato è $1$ mentre per il secondo è $0$? Perché quel $sen^2$ è così influente?
Grazie mille e chiedo scusa in anticipo se mi sono spiegato non in maniera eccelsa.
Risposte
Quello, cioé:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\; ,
\]
è un limite notevole che è dimostrato in ogni testo di Analisi I.
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\; ,
\]
è un limite notevole che è dimostrato in ogni testo di Analisi I.
In questi casi è molto utile utilizzare il polinomio di Taylor: esso permette di approssimare la funzione vicino ad un punto che ci interessa. (vedi http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor)
Ad esempio per $x->0$
$sinx ~~ x$
Il tuo limite è $lim_(x->+oo)xsin(1/x)$
Quando $x$ va a $+oo$ l'argomento del seno $1/x$ tende a zero quindi possiamo dire che per $x->+oo$ $sin(1/x)~~(1/x)$
lo sostituiamo nel limite e il gioco è fatto!
$lim_(x->+oo)xsin(1/x)=lim_(x->+oo)x1/x=lim_(x->+oo)1=1$
Per quanto riguarda il secondo esercizio possiamo fare la stessa cosa:
$lim_(x->+oo)xsin^2(1/x)=lim_(x->+oo)x(1/x^2)=lim_(x->+oo)1/x=0$
Ad esempio per $x->0$
$sinx ~~ x$
Il tuo limite è $lim_(x->+oo)xsin(1/x)$
Quando $x$ va a $+oo$ l'argomento del seno $1/x$ tende a zero quindi possiamo dire che per $x->+oo$ $sin(1/x)~~(1/x)$
lo sostituiamo nel limite e il gioco è fatto!
$lim_(x->+oo)xsin(1/x)=lim_(x->+oo)x1/x=lim_(x->+oo)1=1$
Per quanto riguarda il secondo esercizio possiamo fare la stessa cosa:
$lim_(x->+oo)xsin^2(1/x)=lim_(x->+oo)x(1/x^2)=lim_(x->+oo)1/x=0$
Adesso ho capito! Grazie mille ad entrambi! 
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