Calcolo di un integrale indefinito.
Buonasera,
ho il seguente integrale $int (sinx+cosx)/(2sinx-3cosx) dx$
il testo dice di calcolarlo con il metodo di sostituzione.
Procedo con le formule parametriche,cioè:
$sinx=(2t)/(t^2+1)$
$cosx=(1-t^2)/(t^2+1)$
dove $t=tan(x/2)$, allora $dx=2/(1+t^2)dt.$
Per cui l'integrale assegnato risulta "se non ho fatto errori di calcolo":
$-2int(t^2-2t-1)/((t^2+1)(3t^2+4t-3))dt$
al denominatore ho due radici reali distinte, e due radici complesse coniugate "sempre se non mi sbaglio", quindi dovrei determinare le radici di $3t^2+4t-3=0 to 3t^2+4t-3=3[(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)].$
Quindi a questo punti devo applicare la formula di Hermite, per ridure la funzione razionale in fratti semplici.
Vi chiedo se non ci sono errori di vario genere "impostazioni e calcolo" sono sulla strada giusta,oppure no ?
Cordiali saluti.
ho il seguente integrale $int (sinx+cosx)/(2sinx-3cosx) dx$
il testo dice di calcolarlo con il metodo di sostituzione.
Procedo con le formule parametriche,cioè:
$sinx=(2t)/(t^2+1)$
$cosx=(1-t^2)/(t^2+1)$
dove $t=tan(x/2)$, allora $dx=2/(1+t^2)dt.$
Per cui l'integrale assegnato risulta "se non ho fatto errori di calcolo":
$-2int(t^2-2t-1)/((t^2+1)(3t^2+4t-3))dt$
al denominatore ho due radici reali distinte, e due radici complesse coniugate "sempre se non mi sbaglio", quindi dovrei determinare le radici di $3t^2+4t-3=0 to 3t^2+4t-3=3[(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)].$
Quindi a questo punti devo applicare la formula di Hermite, per ridure la funzione razionale in fratti semplici.
Vi chiedo se non ci sono errori di vario genere "impostazioni e calcolo" sono sulla strada giusta,oppure no ?
Cordiali saluti.
Risposte
Sì.
Controlla i conti per maggior sicurezza.
Controlla i conti per maggior sicurezza.
Ciao galles90,
Procedendo come hai pensato magari si arriva alla soluzione dell'integrale proposto, ma mi sa che i calcoli diventano piuttosto tediosi...
Fermo restando che se poi devi fare così pace, proverei moltiplicando numeratore e denominatore della funzione integranda per $ sec^3 x = 1/(cos^3 x) $
Procedendo come hai pensato magari si arriva alla soluzione dell'integrale proposto, ma mi sa che i calcoli diventano piuttosto tediosi...
Fermo restando che se poi devi fare così pace, proverei moltiplicando numeratore e denominatore della funzione integranda per $ sec^3 x = 1/(cos^3 x) $
Ciao grazie per le risposte.
Si ho provato a fare i calcoli, ma purtroppo escono valori un pò strani "sempre se sono corretti, ovviamente" giusto per osservazione mi trovo ad una delle relazioni questo:
$((143-6sqrt(13))A+(155+6sqrt(13))B=15.015)$
quindi due sono le possibilità,
ho sbagliato qualche calcolo "la più probabile" oppure dovrei procedere con un altro metodo, come suggerito.
@gugo82, ho controllato anche su wolframalpha, è sono corretti.
Provo con la sostituzione e vi faccio sapere.
Ciao
Si ho provato a fare i calcoli, ma purtroppo escono valori un pò strani "sempre se sono corretti, ovviamente" giusto per osservazione mi trovo ad una delle relazioni questo:
$((143-6sqrt(13))A+(155+6sqrt(13))B=15.015)$
quindi due sono le possibilità,
ho sbagliato qualche calcolo "la più probabile" oppure dovrei procedere con un altro metodo, come suggerito.
@gugo82, ho controllato anche su wolframalpha, è sono corretti.
Provo con la sostituzione e vi faccio sapere.
Ciao
Un attacco diverso può essere questo: notiamo che il numeratore è simile alla derivata del denominatore, a meno di qualche costante moltiplicativa.
Cerchiamo quindi di scrivere la funzione integranda come derivata del denominatore, però alla quale sottraiamo un'altra quantità invece uguale al denominatore (tranne per una costante moltiplicativa), in modo tale da semplificare la funzione integranda.
In sostanza quindi vogliamo scrivere
$$\cos x + \sin x =a \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (2\sin x - 3\sin x) \right] +b(2\sin x - 3\cos x)=$$
$$=a(2\cos x + 3\sin x)+b(2\sin x -3\cos x)$$
Ora procedi come fai di solito nei sistemi ed eguagli i coefficienti di $\cos x$ e $\sin x$ per trovare $a$ e $b$. Alla fine arriverai a una forma del tipo
$$\int \frac{\sin x + \cos x}{2\sin x -3\cos x}\mathrm{d}x=\int \left[\frac{a(2\cos x + 3\sin x)+b(2\sin x -3\cos x)}{2\sin x -3\cos x} \right]\mathrm{d}x=$$
$$=a \int \frac{2\cos x + 3\sin x}{2\sin x -3\cos x}\mathrm{d}x +b \int \mathrm{d}x=a \ln |2\sin x -3\cos x|+bx+c$$
Dove $c$ è una generica costante di integrazione.
Ti metto in spoiler il risultato delle costanti, in modo tale che potrai controllarle (senza sbirciare senza aver provato prima però eh!
)
Cerchiamo quindi di scrivere la funzione integranda come derivata del denominatore, però alla quale sottraiamo un'altra quantità invece uguale al denominatore (tranne per una costante moltiplicativa), in modo tale da semplificare la funzione integranda.
In sostanza quindi vogliamo scrivere
$$\cos x + \sin x =a \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (2\sin x - 3\sin x) \right] +b(2\sin x - 3\cos x)=$$
$$=a(2\cos x + 3\sin x)+b(2\sin x -3\cos x)$$
Ora procedi come fai di solito nei sistemi ed eguagli i coefficienti di $\cos x$ e $\sin x$ per trovare $a$ e $b$. Alla fine arriverai a una forma del tipo
$$\int \frac{\sin x + \cos x}{2\sin x -3\cos x}\mathrm{d}x=\int \left[\frac{a(2\cos x + 3\sin x)+b(2\sin x -3\cos x)}{2\sin x -3\cos x} \right]\mathrm{d}x=$$
$$=a \int \frac{2\cos x + 3\sin x}{2\sin x -3\cos x}\mathrm{d}x +b \int \mathrm{d}x=a \ln |2\sin x -3\cos x|+bx+c$$
Dove $c$ è una generica costante di integrazione.
Ti metto in spoiler il risultato delle costanti, in modo tale che potrai controllarle (senza sbirciare senza aver provato prima però eh!
)
La tecnica di calcolo con le formule parametriche ed i fratti semplici porta quasi sempre a conti "brutti"... Quindi non demoralizzarti.
La strategia che propone pilloeffe può essere implementata in altra maniera e serve per ridurre l'integrale ad un integrale in $tan x$, che si calcola con sostituzione $t=tan x$ e con scomposizione in fratti.
La sostituzione in $tan x$ (che si usa per funzioni razionali di $sin^2 x, cos^2 x, sin x cos x, tan x$) di solito semplifica i calcoli.
Facendo un paio di passaggi:
\[
\begin{split}
\int \frac{\sin x + \cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x &= \frac{1}{3}\int \frac{3\sin x + 3\cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{3}\ \log |2\sin x - 3 \cos x| + \frac{1}{3}\ \int \frac{\cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{3}\ \log |2\sin x - 3 \cos x| + \frac{1}{3}\ \int \frac{1}{2\tan x - 3}\ \text{d} x\\
\end{split}
\]
in cui, però si sta barando alla grande, in quanto si assume che $\cos x != 0$ (sicché il risultato dell'integrale è costituito da primitive definite solo in intervalli aperti che hanno per estremi zeri consecutivi del coseno).
La sostituzione $t=tan x$ implica $"d"x = 1/(1+t^2)" d" t$ quindi:
\[
\int \frac{1}{2\tan x - 3}\ \text{d} x = \int \frac{1}{(2t-3)(1+t^2)}\ \text{d} t
\]
che è più maneggevole da calcolare coi fratti (anche se forse i coefficienti non vengono proprio "puliti").
Prova e vedi che ne tiri fuori.
P.S.: Grazie a pilloeffe ed a te: questo thread mi ha fatto riflettere su una cosa che non avevo realizzato prima, cioè che la sostituzione $t=tan x$ potrebbe funzionare (sebbene con alcuni caveat) anche nel caso di integrandi razionali omogenei di grado zero (o comunque di grado pari) in seno e coseno.
La strategia che propone pilloeffe può essere implementata in altra maniera e serve per ridurre l'integrale ad un integrale in $tan x$, che si calcola con sostituzione $t=tan x$ e con scomposizione in fratti.
La sostituzione in $tan x$ (che si usa per funzioni razionali di $sin^2 x, cos^2 x, sin x cos x, tan x$) di solito semplifica i calcoli.
Facendo un paio di passaggi:
\[
\begin{split}
\int \frac{\sin x + \cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x &= \frac{1}{3}\int \frac{3\sin x + 3\cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{3}\ \log |2\sin x - 3 \cos x| + \frac{1}{3}\ \int \frac{\cos x}{2\sin x - 3\cos x}\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{3}\ \log |2\sin x - 3 \cos x| + \frac{1}{3}\ \int \frac{1}{2\tan x - 3}\ \text{d} x\\
\end{split}
\]
in cui, però si sta barando alla grande, in quanto si assume che $\cos x != 0$ (sicché il risultato dell'integrale è costituito da primitive definite solo in intervalli aperti che hanno per estremi zeri consecutivi del coseno).
La sostituzione $t=tan x$ implica $"d"x = 1/(1+t^2)" d" t$ quindi:
\[
\int \frac{1}{2\tan x - 3}\ \text{d} x = \int \frac{1}{(2t-3)(1+t^2)}\ \text{d} t
\]
che è più maneggevole da calcolare coi fratti (anche se forse i coefficienti non vengono proprio "puliti").
Prova e vedi che ne tiri fuori.
P.S.: Grazie a pilloeffe ed a te: questo thread mi ha fatto riflettere su una cosa che non avevo realizzato prima, cioè che la sostituzione $t=tan x$ potrebbe funzionare (sebbene con alcuni caveat) anche nel caso di integrandi razionali omogenei di grado zero (o comunque di grado pari) in seno e coseno.
ho provato,
moltiplicando numeratore e denominatore della funzione integranda per $1/cos^3(x)$, mi ritrovo
$((sinx+cosx)/(cos^3x)/(2sinx-3cosx)/(cos^3x))=(tanx+1)/(2tanx-3)$
procedendo con la sostituzione, ricordando che $tanx=2t/(1-t^2) dx=1/(1+t^2)$, ottengo
$int ((2t)/(1-t^2))/((4t)/(1-t^2)-3)=int (2t)/((3t^2+4t-3)(1+t^2))dt=2 int (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) dt$
scompongo la funzione integranda in fratti semplici, si ha:
$ (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) =A/(t+2/3+sqrt(13)/3)+B/(t+2/3-sqrt(13)/3)+(Ct+D)(t^2+1)=A(t+2/3-sqrt(13)/3)(t^2+1)+B(t+2/3+sqrt(13)/3)(t^2+1)+(Ct+D)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)=At^3+1/3(2-sqrt(13))At^2+At+1/3(2-sqrt(13))A+Bt^3+1/3(2+sqrt(13))Bt^2+Bt+1/3(2+sqrt(13))B+Ct^3+4/3Ct^2-Ct+Dt^2+4/3Dt-D.$
Per il principio d'identità dei polinomi, si ha:
\(\displaystyle A=\begin{cases} A+B+C=0 \\ \tfrac{1}{3}(2-\sqrt(13))A+\tfrac{1}{3}(2+\sqrt(13))B+\tfrac{4}{3}C+D=0 \\ A+B-C+\tfrac{4}{3}D=1 \\ \tfrac{1}{3}(2-\sqrt(13))A+\tfrac{1}{3}(2+\sqrt(13))B-D=0 \end{cases} \to A=\begin{cases} A=-\tfrac{2+\sqrt(13)}{12}-\tfrac{17+4\sqrt(13)}{9} \\ B=\tfrac{2+\sqrt(13)}{12}-\tfrac{17+4\sqrt(13)}{9} +\tfrac{3}{8} \\C=-(3/8) \\ D=1/4 \end{cases} \)
dalla formula di Hermite, si ha:
$2 int (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) dt =2[-\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} int 1/(t+2/3+sqrt(13)/3)dt] + 2[\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} +\frac{3}{8} int 1/(t+2/3-sqrt(13)/3) dt]-2[(3/8) int 1/(t^2+1) dt]+2[(1/4) int 1/(t^2+1) dt]=2[-\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} ln|(t+2/3+sqrt(13)/3)|]+2[\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} ln|(t+2/3-sqrt(13)/3)|]-[3/4arctg(t)] +[1/2arctg(t)]+c$
Ahahaahaaahah !! ho visto solo ora la risposta @ gugo82... alla fine...
Ora non lo so se si trova oppure no, penso quasi di no.... l'ho carico su geogebra !
moltiplicando numeratore e denominatore della funzione integranda per $1/cos^3(x)$, mi ritrovo
$((sinx+cosx)/(cos^3x)/(2sinx-3cosx)/(cos^3x))=(tanx+1)/(2tanx-3)$
procedendo con la sostituzione, ricordando che $tanx=2t/(1-t^2) dx=1/(1+t^2)$, ottengo
$int ((2t)/(1-t^2))/((4t)/(1-t^2)-3)=int (2t)/((3t^2+4t-3)(1+t^2))dt=2 int (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) dt$
scompongo la funzione integranda in fratti semplici, si ha:
$ (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) =A/(t+2/3+sqrt(13)/3)+B/(t+2/3-sqrt(13)/3)+(Ct+D)(t^2+1)=A(t+2/3-sqrt(13)/3)(t^2+1)+B(t+2/3+sqrt(13)/3)(t^2+1)+(Ct+D)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)=At^3+1/3(2-sqrt(13))At^2+At+1/3(2-sqrt(13))A+Bt^3+1/3(2+sqrt(13))Bt^2+Bt+1/3(2+sqrt(13))B+Ct^3+4/3Ct^2-Ct+Dt^2+4/3Dt-D.$
Per il principio d'identità dei polinomi, si ha:
\(\displaystyle A=\begin{cases} A+B+C=0 \\ \tfrac{1}{3}(2-\sqrt(13))A+\tfrac{1}{3}(2+\sqrt(13))B+\tfrac{4}{3}C+D=0 \\ A+B-C+\tfrac{4}{3}D=1 \\ \tfrac{1}{3}(2-\sqrt(13))A+\tfrac{1}{3}(2+\sqrt(13))B-D=0 \end{cases} \to A=\begin{cases} A=-\tfrac{2+\sqrt(13)}{12}-\tfrac{17+4\sqrt(13)}{9} \\ B=\tfrac{2+\sqrt(13)}{12}-\tfrac{17+4\sqrt(13)}{9} +\tfrac{3}{8} \\C=-(3/8) \\ D=1/4 \end{cases} \)
dalla formula di Hermite, si ha:
$2 int (t)/((1+t^2)(t+2/3+sqrt(13)/3)(t+2/3-sqrt(13)/3)) dt =2[-\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} int 1/(t+2/3+sqrt(13)/3)dt] + 2[\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} +\frac{3}{8} int 1/(t+2/3-sqrt(13)/3) dt]-2[(3/8) int 1/(t^2+1) dt]+2[(1/4) int 1/(t^2+1) dt]=2[-\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} ln|(t+2/3+sqrt(13)/3)|]+2[\frac{2+\sqrt(13)}{12}-\frac{17+4\sqrt(13)}{9} ln|(t+2/3-sqrt(13)/3)|]-[3/4arctg(t)] +[1/2arctg(t)]+c$
Ahahaahaaahah !! ho visto solo ora la risposta @ gugo82... alla fine...
Ora non lo so se si trova oppure no, penso quasi di no.... l'ho carico su geogebra !
Ciao gugo82,
scusami se ti rispondo solo ora. Rispondo al problema da te proposto, cioè di calcolare $int 1/((2t-3)(t^2+1))dt$, con l'osservazione che la funzione da integrare è definita nell'intervallo $I={x in mathbb{R}:cosx ne 0 to x ne pi/2 +kpi, k in mathbb{Z}}$.
Sia $int 1/((2t-3)(t^2+1))dt=1/2 int 1/((t-3/2)(t^2+1))dt$
per determinare tale integrale, si osserva che il polinomio al denominatore ha una radice reale con molteplicità pari ad uno, e una radice complessa coniugata, per cui imponiamo:
$1/((t-3/2)(t^2+1))=A/(t-3/2)+(Bt+C)/(t^2+1)$, allora $A(t^2+1)+(Bt+C)(t^2+1)=1$ dal P.I.D.P. si ha che:
\(\displaystyle \begin{cases} A+B=0 \\ C+3/2B=0 \\ 3/2C+B=1 \end{cases} \to \begin{cases} A=4/13 \\ B=-4/13 \\ C=-6/13 \end{cases} \)
conseguentemente si ha che:
$1/2 int 1/((t-3/2)(t^2+1))dt 1/2[4/13 int 1/(t-3/2)dt-2/13int2t/(t^2+1)dt-6/13 int 1/(t^2+1) dt]=1/13[2ln|t-3/2|-ln(t^2+1)-3arctan(t)+ c, c in mathbb{R}]$
ricordando la posizione fatta $t=tanx$, la quale risulta definita per ogni $x ne pi/2 + kpi , k in mathbb{Z}=I$
ne segue
$1/13[2ln|t-3/2|-ln(t^2+1)-3arctan(t)+ c, c in mathbb{R}]=1/13[2ln|tanx-3/2|-ln(1/cos^2x)-3x+ b, b in mathbb{R} ]$.
Una generica primitiva è definita, rispettando tali condizioni:
$(1/(cos^2x)>0)$
$tanx-3/2>0$
per cui per ogni $x in I'={x in R:kpi + a
Risulta $I' subset I$.
Praticamente risulta "valido"
Dimme se c'è qualche errore.
Ciao
scusami se ti rispondo solo ora. Rispondo al problema da te proposto, cioè di calcolare $int 1/((2t-3)(t^2+1))dt$, con l'osservazione che la funzione da integrare è definita nell'intervallo $I={x in mathbb{R}:cosx ne 0 to x ne pi/2 +kpi, k in mathbb{Z}}$.
Sia $int 1/((2t-3)(t^2+1))dt=1/2 int 1/((t-3/2)(t^2+1))dt$
per determinare tale integrale, si osserva che il polinomio al denominatore ha una radice reale con molteplicità pari ad uno, e una radice complessa coniugata, per cui imponiamo:
$1/((t-3/2)(t^2+1))=A/(t-3/2)+(Bt+C)/(t^2+1)$, allora $A(t^2+1)+(Bt+C)(t^2+1)=1$ dal P.I.D.P. si ha che:
\(\displaystyle \begin{cases} A+B=0 \\ C+3/2B=0 \\ 3/2C+B=1 \end{cases} \to \begin{cases} A=4/13 \\ B=-4/13 \\ C=-6/13 \end{cases} \)
conseguentemente si ha che:
$1/2 int 1/((t-3/2)(t^2+1))dt 1/2[4/13 int 1/(t-3/2)dt-2/13int2t/(t^2+1)dt-6/13 int 1/(t^2+1) dt]=1/13[2ln|t-3/2|-ln(t^2+1)-3arctan(t)+ c, c in mathbb{R}]$
ricordando la posizione fatta $t=tanx$, la quale risulta definita per ogni $x ne pi/2 + kpi , k in mathbb{Z}=I$
ne segue
$1/13[2ln|t-3/2|-ln(t^2+1)-3arctan(t)+ c, c in mathbb{R}]=1/13[2ln|tanx-3/2|-ln(1/cos^2x)-3x+ b, b in mathbb{R} ]$.
Una generica primitiva è definita, rispettando tali condizioni:
$(1/(cos^2x)>0)$
$tanx-3/2>0$
per cui per ogni $x in I'={x in R:kpi + a
Risulta $I' subset I$.
Praticamente risulta "valido"
Dimme se c'è qualche errore.
Ciao
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