Calcolo di un integrale con metodo dei residui
Buona sera. Ho provato a calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui. Premetto che molte nozioni ancora non mi sono del tutto chiare in quanto è la prima volta che affronto l'argomento e ho avuto pochi esempi che potessero aiutarmi nello svolgimento ( la teoria non sempre basta...)
$int_(0 to \pi) \frac{d\theta}{acos\theta-1}$
dove a è un parametro reale >0
Sinora ho svolto nel seguente modo: ho sostituito $cos\theta= (1/2)(z+1/z)$ e $ d\theta=(dz)/(iz)$.
A questo punto, al denominatore ho: $az^2-2z+a$. Ho calcolato gli zeri e questi sono:
$z= (1-(sqrt{1-a^2}))/a$ e $z= (1+(sqrt{1-a^2}))/a$ ( sotto radice vi è ( 1-a^2))
Tutto questo per poter calcolare i residui. Adesso, probabilmente dovrei discutere le soluzioni ( ma il cerchio entro cui cadono come si fa a determinare? sinora ho sempre trovato cerchi unitari, così da considerare soluzioni che cadessero interne alla circonferenza di raggio |z|=1... Dovrei dividere l'integrando per 1/2 così da integrare da 0 a 2pi?)) al variare del parametro per vedere quale di questi rientra tra le mie soluzioni per il calcolo dei residui. Ma io non so come si fa!
Spero possiate darmi una mano.
Vi ringrazio.
Alex
$int_(0 to \pi) \frac{d\theta}{acos\theta-1}$
dove a è un parametro reale >0
Sinora ho svolto nel seguente modo: ho sostituito $cos\theta= (1/2)(z+1/z)$ e $ d\theta=(dz)/(iz)$.
A questo punto, al denominatore ho: $az^2-2z+a$. Ho calcolato gli zeri e questi sono:
$z= (1-(sqrt{1-a^2}))/a$ e $z= (1+(sqrt{1-a^2}))/a$ ( sotto radice vi è ( 1-a^2))
Tutto questo per poter calcolare i residui. Adesso, probabilmente dovrei discutere le soluzioni ( ma il cerchio entro cui cadono come si fa a determinare? sinora ho sempre trovato cerchi unitari, così da considerare soluzioni che cadessero interne alla circonferenza di raggio |z|=1... Dovrei dividere l'integrando per 1/2 così da integrare da 0 a 2pi?)) al variare del parametro per vedere quale di questi rientra tra le mie soluzioni per il calcolo dei residui. Ma io non so come si fa!
Spero possiate darmi una mano.
Vi ringrazio.
Alex
Risposte
Si, devi dividere l'integrando per 1/2 così da integrare da 0 a 2pi.
\(\displaystyle\int_{{{0}\to\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{{{0}\to2\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}\)
Ora calcola i residui per
$z= (1-(sqrt{1-a^2}))/a$ e $z= (1+(sqrt{1-a^2}))/a$
Dipende dal parametro a quale di questi rientra tra la soluzione. Si z cade interne alla circonferenza di raggio |z|=1, devi includere il residu.
\(\displaystyle\int_{{{0}\to\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{{{0}\to2\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}\)
Ora calcola i residui per
$z= (1-(sqrt{1-a^2}))/a$ e $z= (1+(sqrt{1-a^2}))/a$
Dipende dal parametro a quale di questi rientra tra la soluzione. Si z cade interne alla circonferenza di raggio |z|=1, devi includere il residu.
Grazie per avermi risposto. Io ho sinora calcolato |z-|<1 e, salvo errori di calcolo, il valore del parametro a ammissibile è compreso tra 0 ( escluso in quanto a>0 per ipotesi) e 1(minore/uguale).
Per quanto riguarda invece la seconda disequazione |z+|<1 ho trovato analoghi valori ( sempre basandomi soltanto sul calcolo dell'esistenza della radice...ma mi sa che ho sbagliato!).
Personalmente, non so come fare per determinare eventuali altri valori di |z|=1, utili per il calcolo del residuo...
Per quanto riguarda invece la seconda disequazione |z+|<1 ho trovato analoghi valori ( sempre basandomi soltanto sul calcolo dell'esistenza della radice...ma mi sa che ho sbagliato!).
Personalmente, non so come fare per determinare eventuali altri valori di |z|=1, utili per il calcolo del residuo...
Supponiamo che i due poli sono dentro il cerchio.
Riepiloghiamo
\(\displaystyle\int_{{{0}\to\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{{{0}\to2\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{unity circle}\frac{1}{a\frac{z+\frac{1}{z}}{2}-1} \frac{dz}{iz}=\int_{unity circle} \frac{-i}{az^2-2z+a}dz \)
\(=\int_{unity circle}f(z) dz \)
\( f(z)=\frac{-i}{az^2-2z+a}=\frac{-i}{a(z-\frac{{{1}-{\left(\sqrt{{{1}-{{a}}^{{2}}}}\right)}}}{{a}} ) (z-\frac{{{1}+{\left(\sqrt{{{1}-{{a}}^{{2}}}}\right)}}}{{a}})} \)
Ora devi calcolare i residui. Usa la formula per un polo di ordine 1...
Riepiloghiamo
\(\displaystyle\int_{{{0}\to\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{{{0}\to2\pi}}{\frac{{{d}\theta}}{{{a}{\cos{\theta}}-{1}}}}=\frac{1}{2}\int_{unity circle}\frac{1}{a\frac{z+\frac{1}{z}}{2}-1} \frac{dz}{iz}=\int_{unity circle} \frac{-i}{az^2-2z+a}dz \)
\(=\int_{unity circle}f(z) dz \)
\( f(z)=\frac{-i}{az^2-2z+a}=\frac{-i}{a(z-\frac{{{1}-{\left(\sqrt{{{1}-{{a}}^{{2}}}}\right)}}}{{a}} ) (z-\frac{{{1}+{\left(\sqrt{{{1}-{{a}}^{{2}}}}\right)}}}{{a}})} \)
Ora devi calcolare i residui. Usa la formula per un polo di ordine 1...
Sin dove hai scritto f(z) mi trovo perfettamente d'accordo. Ho calcolato il Res per a=0. Adesso, mi sarebbe chiaro anche considerare gli altri 2 residui se ricadono entro il cerchio unitario. Ma come faccio a capire, al variare del valore di a>0 se i due punti trovati cadono o meno dentro il cerchio? Mi sono perso qui: dovrei svolgere le due disequazioni ( con z punto singolare)|z|<1. Ma...non riesco a venirne a capo.
Guardiamo il primo residu per $z= (1-(sqrt{1-a^2}))/a$
0 residu è dentro cerchio OK
1<=a: |z(a)|=1 -> residu è su il cerchio... magari l'integrale è divergente???
0
1<=a: |z(a)|=1 -> residu è su il cerchio... magari l'integrale è divergente???
Il discorso per 0
Mi Scuso per il mio cattivo italiano, but I mean that for a>1 z will be ON the circle and the integral will diverge.
Non puoi usare qui il lemma di Jordan. Il lemma di Jordan è usato spesso per provare che il integrale è uguale a 0 sul contorno.
Non puoi usare qui il lemma di Jordan. Il lemma di Jordan è usato spesso per provare che il integrale è uguale a 0 sul contorno.
Il tuo italiano è perfetto. Sono io che sono tONto =) Andrò a rivedere meglio il lemma di Jordan. Sinora mi trovo in difficoltà con gli esercizi in cui sono richiesti calcoli sul contorno o al di fuori di esso ( esercizi in cui nella funzione integranda sono presenti parametri e/o il raggio varia). Ad esempio: in un altro esercizio mi viene chiesto di calcolare il seguente integrale:
$I_N= int_{\gamma_N} ctg(\pi*z)dz$
dove $\gamma_N : |z|=N+1/2$, con N intero positivo. Per prima cosa, ho calcolato le singolarità di f(z) = cot(πz) dentro la circonferenza $\gamma_N$.
Ho riscritto:
cot(πz) = cos(πz)/sin(πz).
Trovando che tale funzione ha dei poli semplici ( del primo ordine) quando sin(πz) = 0.
==> πz = πk, for k = 0, ±1, ...
==> z = k, for k = 0, ±1, ...
Qui non mi è chiaro quali punti cadono all'interno di $\gamma$ e quali all'esterno. Come dovrei fare al variare di N?
Comunque, pur parlando tu molto bene l'italiano, se ti vien meglio a scrivere in inglese... fai pure ;D
$I_N= int_{\gamma_N} ctg(\pi*z)dz$
dove $\gamma_N : |z|=N+1/2$, con N intero positivo. Per prima cosa, ho calcolato le singolarità di f(z) = cot(πz) dentro la circonferenza $\gamma_N$.
Ho riscritto:
cot(πz) = cos(πz)/sin(πz).
Trovando che tale funzione ha dei poli semplici ( del primo ordine) quando sin(πz) = 0.
==> πz = πk, for k = 0, ±1, ...
==> z = k, for k = 0, ±1, ...
Qui non mi è chiaro quali punti cadono all'interno di $\gamma$ e quali all'esterno. Come dovrei fare al variare di N?
Comunque, pur parlando tu molto bene l'italiano, se ti vien meglio a scrivere in inglese... fai pure ;D
a proposito: per il secondo residuo ( dell'integrale iniziale), come si dovrebbe procedere per gli intervalli di a?
Per \(\displaystyle \gamma_{{N}}:{\left|{z}\right|}={N}+\frac{{1}}{{2}} \) i residui z = k, for k = 0, ±1, ...,±N cadono all'interno di γ, gli altri z = k, for k = ±(N+1), ... all'esterno.
"bad.alex":
a proposito: per il secondo residuo ( dell'integrale iniziale), come si dovrebbe procedere per gli intervalli di a?
Devi fare una grafica.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2Bsqrt%28x%5E2-1%29%29%2Fx
il secondo residuo è sempre all'esterno del contorno.
Grazie wnvl! E col parametro N come calcolo il residuo?Lo calcolo semplicemente in z = k:
lim(z→k) (z - k) * cot(πz)
= lim(z→k) (z - k)/tan(πz)
= 1/π.
In questo modo mi viene:
$I_N$ = 2πi * Σ 1/π= ? ( non so quanto valga essendo presenti all'interno N punti...)
lim(z→k) (z - k) * cot(πz)
= lim(z→k) (z - k)/tan(πz)
= 1/π.
In questo modo mi viene:
$I_N$ = 2πi * Σ 1/π= ? ( non so quanto valga essendo presenti all'interno N punti...)
"bad.alex":
$I_N$ = 2πi * Σ 1/π= ?
Si.
=2πi *(2N+1)/π=2i(2N+1)
Grazie infinite! un'ultima domanda sciocca... come mai si moltiplica 2N+1 per $\pi$? ( al più avrei moltiplicato per N... -_-')
hai poli negativi (N) e positivi (N) e per 0 (1) -> N + N + 1 = 2N+1
Ecco, questo ho un ragionamento troppo sofisticato ;D Grazie mille, wnvl! Sei stato davvero di grande aiuto ( e pazienza!)
Scusate se torno di nuovo sull'argomento ma ho una perplessità: per 0
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