Calcolo di un integrale con il teorema dei residui

[Venosino1]

Ciao a tutti!
In uno scorso appello di analisi 3 c'era da svolgere questo esercizio:

[img]http://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=433[/img]

Vorrei sapere se lo svolgimento è corretto e se ci sono suggerimenti.

Classifico le singolarità.
$ +-2i $ sono poli di ordine 1, infatti esistono finiti

$\lim_{z \to +-2i}(z-+2i)f(z)$

$(z^4-z^3)$ lo scrivo come $z^3*(z-1)$ ed ho che $z=0$ è un polo del 3° ordine poichè esiste finito

$\lim_{z \to 0}(z^3)f(z)$

mentre per $z=1$ ho che

$\lim_{z \to 1}(z-1)f(z)=0$

quindi non è un polo. Ho che

$\lim_{z \to infty}f(z)=0$

quindi è una singolarità eliminabile (?).

Dal teorema dei residui ho che l'integrale è uguale a

$I=2pi*i*(Res(f,0)+Res(f,2i))$

dal momento che le singolarità $z=0$ e $z=2i$ sono quelle che cadono nella circonferenza centrata in $(0,1)$ e di raggio $2$.

Ora ho che:
$Res(f,0)=(1/2)*\lim_{z \to 0}d^2/dz^2(z^3*f(z))$
e c'è da calcolare una derivata abbastanza lunga

$Res(f,2i)=\lim_{z \to 2i}(z-2i)f(z)=(4i-7)/(64i-32)$

E' corretto il procedimento? Mi hanno detto che la prof ha parlato durante la correzione di singolarità essenziale ma non ho capito a quale si riferisce ($z=1$?).
Mi sembra strano che ci sia da calcolare la derivata seconda che prende un sacco di tempo, quindi c'è sicuramente qualche scorciatoia oppure ho sbagliato qualcosa.

Grazie

[Venosino1]

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