Calcolo di un integrale.
Buonasera,
sto studiando l'integrazione per sostituzione. Vi posto l'esercizio in cui non mi trovo
$int (sqrt(x^2-1))/(x)dx$
il risultato dell'integrale è $R=(sqrt(x^2-1)+tan^-1(1/sqrt(x^2-1))+c)$
Procedo nel seguente modo
$t=sqrt(x^2-1) to x= pm sqrt(t^2+1)$
$(x)/(sqrt(x^2-1))dx=dt to dx=((t)/(sqrt(t^2+1)))$ (quì presumo che ci sia l'errore perchè non valuto il valore che può assumere $x$ negativo o positivo.
Componendo l'integrale ottengo
$int (t^2)/(t^2+1)dt=int 1 dt-int 1/(t^2+1)dt=t-tan^-1(t)+c$.
Per cui sostituisco il valore di $t$ nel risultato dell'integrale cercato ed ho :
$sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+c$
Cordiali Saluti.
sto studiando l'integrazione per sostituzione. Vi posto l'esercizio in cui non mi trovo
$int (sqrt(x^2-1))/(x)dx$
il risultato dell'integrale è $R=(sqrt(x^2-1)+tan^-1(1/sqrt(x^2-1))+c)$
Procedo nel seguente modo
$t=sqrt(x^2-1) to x= pm sqrt(t^2+1)$
$(x)/(sqrt(x^2-1))dx=dt to dx=((t)/(sqrt(t^2+1)))$ (quì presumo che ci sia l'errore perchè non valuto il valore che può assumere $x$ negativo o positivo.
Componendo l'integrale ottengo
$int (t^2)/(t^2+1)dt=int 1 dt-int 1/(t^2+1)dt=t-tan^-1(t)+c$.
Per cui sostituisco il valore di $t$ nel risultato dell'integrale cercato ed ho :
$sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+c$
Cordiali Saluti.
Risposte
Ciao galles90,
Invece porrei $x := 1/(cos t) \implies dx = tan t \frac{dt}{cos t} \implies (dx)/x = tan t dt $...
Così ti riconduci ad un integrale già risolto ad esempio qui.
Invece porrei $x := 1/(cos t) \implies dx = tan t \frac{dt}{cos t} \implies (dx)/x = tan t dt $...
Così ti riconduci ad un integrale già risolto ad esempio qui.
Ciao
la sostituzione che fai è corretta
se tu poni $t = sqrt(x^2 - 1)$ avrai che
$(dt)/(dx) = x/(sqrt(x^2-1)) -> dt = x/(sqrt(x^2-1)) dx$
inoltre hai $t = sqrt(x^2 - 1) -> x^2 = t^2+1$
riscrivendo il tuo integrale iniziale hai
$\int \sqrt(x^2 - 1)/x dx -> \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot 1 dx -> \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot x/\sqrt(x^2 - 1) dx $
$ \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot x/\sqrt(x^2 - 1) dx =\int (x^2-1)/x^2 x/\sqrt(x^2 - 1) dx = $
$\int t^2/(t^2 + 1) dt$
adesso trasformiamo la funzione da integrare
$\t/(t^2 + 1) = (t^2 + 1 - 1)/(t^2 + 1) = (-1)/(t^2 + 1) + (t^2 + 1)/(t^2 + 1) = -1/(t^2 + 1)+1$
a questo punto il tuo integrale diventa
$\int -1/(t^2 + 1)+1 dt = -\int 1/(t^2 + 1) dt + \int 1 dt $
dove
$\int 1/(t^2 + 1) dt = -arctan(t) + C$
e
$\int 1dt = t + C$
pertanto
$\int -1/(t^2 + 1)+1 dt = arctan(t) + t + C = -arctan( sqrt(x^2 - 1)) + sqrt(x^2 - 1) + C $
la sostituzione che fai è corretta
se tu poni $t = sqrt(x^2 - 1)$ avrai che
$(dt)/(dx) = x/(sqrt(x^2-1)) -> dt = x/(sqrt(x^2-1)) dx$
inoltre hai $t = sqrt(x^2 - 1) -> x^2 = t^2+1$
riscrivendo il tuo integrale iniziale hai
$\int \sqrt(x^2 - 1)/x dx -> \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot 1 dx -> \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot x/\sqrt(x^2 - 1) dx $
$ \int \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot \sqrt(x^2 - 1)/x \cdot x/\sqrt(x^2 - 1) dx =\int (x^2-1)/x^2 x/\sqrt(x^2 - 1) dx = $
$\int t^2/(t^2 + 1) dt$
adesso trasformiamo la funzione da integrare
$\t/(t^2 + 1) = (t^2 + 1 - 1)/(t^2 + 1) = (-1)/(t^2 + 1) + (t^2 + 1)/(t^2 + 1) = -1/(t^2 + 1)+1$
a questo punto il tuo integrale diventa
$\int -1/(t^2 + 1)+1 dt = -\int 1/(t^2 + 1) dt + \int 1 dt $
dove
$\int 1/(t^2 + 1) dt = -arctan(t) + C$
e
$\int 1dt = t + C$
pertanto
$\int -1/(t^2 + 1)+1 dt = arctan(t) + t + C = -arctan( sqrt(x^2 - 1)) + sqrt(x^2 - 1) + C $
Infatti è tutto corretto, basta che tieni presente che si ha:
$\pi/2 - arctan(u) = arctan(1/u) $
ove nel tuo caso $ u := \sqrt{x^2 - 1} $ qualora per caso ti stessi chiedendo come mai non ti viene come nel risultato che hai riportato...
$\pi/2 - arctan(u) = arctan(1/u) $
ove nel tuo caso $ u := \sqrt{x^2 - 1} $ qualora per caso ti stessi chiedendo come mai non ti viene come nel risultato che hai riportato...
Ciao pilloeffe e summerwind78,
si pilloeffe, diciamo che la so la relazione che hai postato per ultimo, però adesso rispondentoti mi è venuto un lampo di genio
(spero che è corretto ), prendo il risulto dei miei calcoli ovvero
$sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+c$.
Sia $f$ una funzione ed $F$ una sua primitiva, allora anche $F+c$ è una primitiva di $f$, per cui io posso vedere quella $c=pi/2+a$
Quindi dal risultato $sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+pi/2+a=sqrt(x^2-1)+tan^-1(1/sqrt(x^2-1))+a$
che ai fini del risultato dell'integrale non cambia.
E corretto ?
Poi volevo chiedere, per quanto riguarda :
$x=pm sqrt(x^2-1)$
ho scelto per semplicità i valori della $x$ positivi, ma la funzione è definita in $(-infty,-1] cup [1,+infty)$ quindi potevo scegliere anche i valori della $x$ negativi.
si pilloeffe, diciamo che la so la relazione che hai postato per ultimo, però adesso rispondentoti mi è venuto un lampo di genio
(spero che è corretto ), prendo il risulto dei miei calcoli ovvero$sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+c$.
Sia $f$ una funzione ed $F$ una sua primitiva, allora anche $F+c$ è una primitiva di $f$, per cui io posso vedere quella $c=pi/2+a$
Quindi dal risultato $sqrt(x^2-1)-tan^-1(sqrt(x^2-1))+pi/2+a=sqrt(x^2-1)+tan^-1(1/sqrt(x^2-1))+a$
che ai fini del risultato dell'integrale non cambia.
E corretto ?
Poi volevo chiedere, per quanto riguarda :
$x=pm sqrt(x^2-1)$
ho scelto per semplicità i valori della $x$ positivi, ma la funzione è definita in $(-infty,-1] cup [1,+infty)$ quindi potevo scegliere anche i valori della $x$ negativi.
"galles90":
però adesso rispondendoti mi è venuto un lampo di genio
Beh, l'idea sottesa al mio post precedente era proprio quella di farti balenare questo "lampo di genio"...
grande 
Invece per quell'altra osservazione su i possibili valori della $x$.
Invece per quell'altra osservazione su i possibili valori della $x$.
"galles90":
grande
Grazie!
"galles90":
Invece per quell'altra osservazione su i possibili valori della $x $.
E' stata posta la stessa domanda in questo thread.
Tutto chiaro !! Grazie
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