Calcolo di un integrale
Come calcolo questo integrale indefinito?
$int(2x+1)/(x^2+x)^2$
Ho provato con la regola di integrazione per parti e mi viene
$((x^2+x)^3(2x+1-2(x^2+x)))/3$
Ma penso non sia corretto, mi date una mano?
$int(2x+1)/(x^2+x)^2$
Ho provato con la regola di integrazione per parti e mi viene
$((x^2+x)^3(2x+1-2(x^2+x)))/3$
Ma penso non sia corretto, mi date una mano?
Risposte
Il denominatore va scomposto in fratti semplici:
$A/(x)+B/x^2+C/(x+1)+D/(x+1)^2$
$A/(x)+B/x^2+C/(x+1)+D/(x+1)^2$
Grazie. Un'altro dubbio: quando ad esempio devo risolvere qualcosa del tipo:
$int-1/(x+1)^2dx$ ad occhio vedo che vale $int-1/(x+1)^2dx=1/(x+1)$. Però volendo fare le cose per bene, io faccio:
$u=x+1=>$
$=> du=d(x+1) => du=dx+d => dx=du-x$
Allora l'integrale diventa:
$int-1/(x+1)^2dx=int-1/(u^2)du-x$. Mi troverei solo se fosse $int-1/(u^2)du$, ma allora non si trattano algebricamente $du$ e $dx$?
$int-1/(x+1)^2dx$ ad occhio vedo che vale $int-1/(x+1)^2dx=1/(x+1)$. Però volendo fare le cose per bene, io faccio:
$u=x+1=>$
$=> du=d(x+1) => du=dx+d => dx=du-x$
Allora l'integrale diventa:
$int-1/(x+1)^2dx=int-1/(u^2)du-x$. Mi troverei solo se fosse $int-1/(u^2)du$, ma allora non si trattano algebricamente $du$ e $dx$?
Guarda che la $d$ che tu usi è il simbolo della derivata (o meglio, dell'operazione di derivazione) non una variabile ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Guarda che la $d$ che tu usi è il simbolo della derivata (o meglio, dell'operazione di derivazione) non una variabile ...
Cordialmente, Alex
Quindi come va trattato nei cambi di variabile?
Quando tu poni $u=x+1$ e poi fai questo $du=d(x+1)$, tu stai derivando quindi $d(x+1)=dx$
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Alex, davvero grazie. Era un dubbio che avevo da un bel pò 
Non sono in grado di spiegarti il perché in modo preciso, ma grosso modo funziona così:
quando deriviamo una composizione di funzioni, applichiamo la chain rule e in questa catena ci fermiamo quando arriviamo alla variabile indipendente; niente vieta però di considerare la variabile stessa come funzione e quindi di moltiplicare anche per la derivata della variabile stessa.
Mi spiego meglio con un esempio (spero ...)
Se abbiamo $x+1$ la derivata sarà $d(x+1)=1$ ma per quello che ho detto prima, niente vieta di scrivere così $d(x+1)=1*dx$ e quindi $d(x+1)=dx$; ecco perché prima ti ho risposto così.
E sarà anche $d(u)=1*du => d(u)=du$.
Cordialmente, Alex
quando deriviamo una composizione di funzioni, applichiamo la chain rule e in questa catena ci fermiamo quando arriviamo alla variabile indipendente; niente vieta però di considerare la variabile stessa come funzione e quindi di moltiplicare anche per la derivata della variabile stessa.
Mi spiego meglio con un esempio (spero ...)
Se abbiamo $x+1$ la derivata sarà $d(x+1)=1$ ma per quello che ho detto prima, niente vieta di scrivere così $d(x+1)=1*dx$ e quindi $d(x+1)=dx$; ecco perché prima ti ho risposto così.
E sarà anche $d(u)=1*du => d(u)=du$.
Cordialmente, Alex
Davvero grazie di nuovo!
\[\int\frac{2x+1}{(x^2+x)^2}\,dx\]
Non serve scomporlo in frazioni semplici visto che al numeratore hai la derivata della base della potenza al denominatore, quindi basta applicare l'integrale notevole:
\[\int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c,\quad\alpha\ne-1\]
ottieni:
\[\frac{(x^2+x)^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{x^2+x}+c\]
Se preferisci puoi vederla come una sostituzione: \(u:=x^2+x\implies du=(2x+1)dx\) e l'integrale diventa:
\[\int\frac{du}{u^2}\]
che è proprio l'integrale notevole.
Non serve scomporlo in frazioni semplici visto che al numeratore hai la derivata della base della potenza al denominatore, quindi basta applicare l'integrale notevole:
\[\int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c,\quad\alpha\ne-1\]
ottieni:
\[\frac{(x^2+x)^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{x^2+x}+c\]
Se preferisci puoi vederla come una sostituzione: \(u:=x^2+x\implies du=(2x+1)dx\) e l'integrale diventa:
\[\int\frac{du}{u^2}\]
che è proprio l'integrale notevole.
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