Calcolo di somme di serie numeriche
Salve a tutti, sto studiando gli sviluppi di Fourier per l'esame di Calcolo differenziale e mi sono imbattuto nel dover calcolare la somma di serie di questo tipo:
$\sum_{k=1}^infty1/((2k+1)^2)$ e $\sum_{k=1}^infty1/((2k+1)^4)$
Il fatto è che mi veniva richiesto in un compitino dove in un primo punto mi faceva sviluppare in serie di Fourier reale la funzione $\f(x)=pi-|x|$ sull'inetrvallo $\[-pi,pi]$;
poi mi chiedeva, posta $\f_N$ la somma parziale $\N$-esima dello sviluppo, di stabilire se $\f_N^2$ converge uniformemente a $\f^2$ (e si vedeva che lo è!);
poi mi chiedeva di calcolare la somma di quelle serie.
a me i coefficienti di Fourier venivano:
$\a_0=\frac{1}{pi}\int_{-pi}^{pi} f(x)\dx=pi$;
$\a_k=\frac{1}{pi}\int_{-pi}^{pi} f(x)cos(x)\dx=\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})= \frac{2}{pi}(\frac{1-(-1)^k}{k^2})$;
$\b_k=0$ (perchè funzione pari).
Perciò lo sviluppo a me tornava così:
$f(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})cos(kx)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty \frac{2}{pi}(\frac{1-(-1)^k}{k^2})cos(kx)$;
A questo punto
$\a_k=0$ se $\k=2j$ e $\a_k=\frac{4}{pi(2j+1)^2}$ se $\k=2j+1$ per $\j=0,1,2...$.
Così $\f(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})cos(kx)=\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^infty(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)
Siccome $\f(x)$ è $\C^1$ a tratti (cioè continua e regolare a tratti su tutto $\mathbb{R}$)
Questo implica che $\f_N(x)$ converge uniformemente a $\f(x)$ in tutto $\mathbb{R}$ (che si usa per dimostrare che anche $\f_N^2$ converge uniformemente a $\f^2$ attraverso delle opportune maggiorazioni). Cioè
$\f_N(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)\rightarrow \f(x)$ per $\N\rightarrow \infty$
$\Rightarrow \pi=f(0)=\frac{pi}{2}+\frac{4}{pi}\sum_{j=0}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})\Rightarrow \sum_{j=0}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})=frac{pi^2}{8}\Rightarrow \sum_{j=1}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})=frac{pi^2}{8}-1
Ora la seconda parte richiedeva la dimostrazione della convergenza uniforme di $\f_N^2$ a $\f^2$ che considero già fatta (si fa con delle semplici maggiorazioni ed un passaggio al limite!)
cosicchè calcolo $\f_N^2(x)=(\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x))^2=\frac{pi^2}{4}+pi\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)+\sum_{i,j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^2(2i+1)^2})cos((2j+1)x)cos((2i+1)x)$
a questo punto integriamo il tutto sapendo che $\cos(kx)$ e $\cos(hx)$ sono ortogonali (cioè l'integrale del loro prodotto è 0) $\Leftrightarrow\ k\ne\h$ si può vedere che:
$\int_{-pi}^{pi}f_N^2(x)\dx=\frac{pi^2}{4}\int_{-pi}^{pi}\dx+pi\int_{-pi}^{pi}\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)\dx+\int_{-pi}^{pi}\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^4})cos^2((2j+1)x)\dx=\frac{pi^2}{4}\int_{-pi}^{pi}\dx+pi\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})\int_{-pi}^{pi}cos((2j+1)x)\dx+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^4})\int_{-pi}^{pi}cos^2((2j+1)x)\dx=$
$\=[...]=\frac{pi^3}{2}+\frac{4^2}{pi}\sum_{j=0}^infty1/((2j+1)^4)$
Ma per $\N\rightarrow\infty$ $\f_N^2(x)\rigtharrow\f^2(x)$ allora si può passare al limite sotto il segno di integrale ed ottenere "una specie" di identità di Parseval da cui si può ricavare il valore della serie...
$\sum_{j=0}^infty1/((2j+1)^4)=\frac{pi}{16}(\int_{-pi}^{pi}f^2(x)\dx-\frac{pi^3}{2})=\frac{pi^4}{96}\Rightarrow\sum_{j=1}^infty1/((2j+1)^4)=\frac{pi^4}{96}-1$.
Ora vorrei sapere: Ma ogni volta che devo calcolare la somma di una serie del genere, posso sperare solo nella formula di Parseval (che forse non si è fatta...), o devo conoscere a-priori la funzione che devo sviluppare in $\[-pi,pi]$ per poi applicare alla serie del suo sviluppo una "+ o - furba" sostituzione in modo da far venire l'argomento della sommatoria che voglio calcolare, in modo da sfruttare almeno la convergenza puntuale di questa ad f? c'è un modo più generale o più furbo che mi consente di sapere il valore delle somme che si possono calcolare direttamente? o almeno che mi faccia capire di quale funzione possa essere lo sviluppo quella serie... (perchè questo esercizio mi sembra troppo fatto ad hoc!)
Se si può usare solo Parseval mi fate vedere un esempio di come si usa? Scusate tanto la lunghezza... ringrazio in anticipo!!!
$\sum_{k=1}^infty1/((2k+1)^2)$ e $\sum_{k=1}^infty1/((2k+1)^4)$
Il fatto è che mi veniva richiesto in un compitino dove in un primo punto mi faceva sviluppare in serie di Fourier reale la funzione $\f(x)=pi-|x|$ sull'inetrvallo $\[-pi,pi]$;
poi mi chiedeva, posta $\f_N$ la somma parziale $\N$-esima dello sviluppo, di stabilire se $\f_N^2$ converge uniformemente a $\f^2$ (e si vedeva che lo è!);
poi mi chiedeva di calcolare la somma di quelle serie.
a me i coefficienti di Fourier venivano:
$\a_0=\frac{1}{pi}\int_{-pi}^{pi} f(x)\dx=pi$;
$\a_k=\frac{1}{pi}\int_{-pi}^{pi} f(x)cos(x)\dx=\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})= \frac{2}{pi}(\frac{1-(-1)^k}{k^2})$;
$\b_k=0$ (perchè funzione pari).
Perciò lo sviluppo a me tornava così:
$f(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})cos(kx)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty \frac{2}{pi}(\frac{1-(-1)^k}{k^2})cos(kx)$;
A questo punto
$\a_k=0$ se $\k=2j$ e $\a_k=\frac{4}{pi(2j+1)^2}$ se $\k=2j+1$ per $\j=0,1,2...$.
Così $\f(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{k=1}^infty\frac{2}{pi}(\frac{1-cos(pik)}{k^2})cos(kx)=\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^infty(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)
Siccome $\f(x)$ è $\C^1$ a tratti (cioè continua e regolare a tratti su tutto $\mathbb{R}$)
Questo implica che $\f_N(x)$ converge uniformemente a $\f(x)$ in tutto $\mathbb{R}$ (che si usa per dimostrare che anche $\f_N^2$ converge uniformemente a $\f^2$ attraverso delle opportune maggiorazioni). Cioè
$\f_N(x)=\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)\rightarrow \f(x)$ per $\N\rightarrow \infty$
$\Rightarrow \pi=f(0)=\frac{pi}{2}+\frac{4}{pi}\sum_{j=0}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})\Rightarrow \sum_{j=0}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})=frac{pi^2}{8}\Rightarrow \sum_{j=1}^infty(\frac{1}{(2j+1)^2})=frac{pi^2}{8}-1
Ora la seconda parte richiedeva la dimostrazione della convergenza uniforme di $\f_N^2$ a $\f^2$ che considero già fatta (si fa con delle semplici maggiorazioni ed un passaggio al limite!)
cosicchè calcolo $\f_N^2(x)=(\frac{pi}{2}+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x))^2=\frac{pi^2}{4}+pi\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)+\sum_{i,j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^2(2i+1)^2})cos((2j+1)x)cos((2i+1)x)$
a questo punto integriamo il tutto sapendo che $\cos(kx)$ e $\cos(hx)$ sono ortogonali (cioè l'integrale del loro prodotto è 0) $\Leftrightarrow\ k\ne\h$ si può vedere che:
$\int_{-pi}^{pi}f_N^2(x)\dx=\frac{pi^2}{4}\int_{-pi}^{pi}\dx+pi\int_{-pi}^{pi}\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})cos((2j+1)x)\dx+\int_{-pi}^{pi}\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^4})cos^2((2j+1)x)\dx=\frac{pi^2}{4}\int_{-pi}^{pi}\dx+pi\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4}{pi(2j+1)^2})\int_{-pi}^{pi}cos((2j+1)x)\dx+\sum_{j=0}^\frac{N-1}{2}(\frac{4^2}{pi^2(2j+1)^4})\int_{-pi}^{pi}cos^2((2j+1)x)\dx=$
$\=[...]=\frac{pi^3}{2}+\frac{4^2}{pi}\sum_{j=0}^infty1/((2j+1)^4)$
Ma per $\N\rightarrow\infty$ $\f_N^2(x)\rigtharrow\f^2(x)$ allora si può passare al limite sotto il segno di integrale ed ottenere "una specie" di identità di Parseval da cui si può ricavare il valore della serie...
$\sum_{j=0}^infty1/((2j+1)^4)=\frac{pi}{16}(\int_{-pi}^{pi}f^2(x)\dx-\frac{pi^3}{2})=\frac{pi^4}{96}\Rightarrow\sum_{j=1}^infty1/((2j+1)^4)=\frac{pi^4}{96}-1$.
Ora vorrei sapere: Ma ogni volta che devo calcolare la somma di una serie del genere, posso sperare solo nella formula di Parseval (che forse non si è fatta...), o devo conoscere a-priori la funzione che devo sviluppare in $\[-pi,pi]$ per poi applicare alla serie del suo sviluppo una "+ o - furba" sostituzione in modo da far venire l'argomento della sommatoria che voglio calcolare, in modo da sfruttare almeno la convergenza puntuale di questa ad f? c'è un modo più generale o più furbo che mi consente di sapere il valore delle somme che si possono calcolare direttamente? o almeno che mi faccia capire di quale funzione possa essere lo sviluppo quella serie... (perchè questo esercizio mi sembra troppo fatto ad hoc!)
Se si può usare solo Parseval mi fate vedere un esempio di come si usa? Scusate tanto la lunghezza... ringrazio in anticipo!!!
Risposte
Scusate, dove non si capisce bene c'è scritto:
Ma per $\N\rightarrow\infty$, $\f_N^2(x)\rightarrow\f^2(x)$ ...
Ma per $\N\rightarrow\infty$, $\f_N^2(x)\rightarrow\f^2(x)$ ...
Credo che questo genere di applicazioni della teoria delle serie di Fourier siano quasi sempre ad hoc, altrimenti detto siano solo a titolo di esercizio. Probabilmente se la funzione da sviluppare si intuisce facilmente viene lasciata da intuire allo studente, altrimenti sarà dato come suggerimento.
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