Calcolo di sommabilità di una funzione
Salve ragazzi, sono nuovo. Ho l'esame l'11...spero di ricevere una risposta al più presto.
Allora io ho questa funzione
F(x)=$(sqrt(x)log(2+1/sqrt(x)))/(root(\alpha)(|x-1|)*3root(\beta)(|x-3|))
Non riesco proprio ad approcciarmi bene all'esercizio..potete darmi una mano su che criteri usare? Grazie in anticipo
Allora io ho questa funzione
F(x)=$(sqrt(x)log(2+1/sqrt(x)))/(root(\alpha)(|x-1|)*3root(\beta)(|x-3|))
Non riesco proprio ad approcciarmi bene all'esercizio..potete darmi una mano su che criteri usare? Grazie in anticipo
Risposte
Se non sappiamo cosa devi fare come pretendi che ti aiutiamo?
Specifica un po' meglio i termini del problema: ad esempio, devi studiare la sommabilità, ma dove?
Poi comincia ad indicare un po' la via che hai intrapreso; se hai fatto esercizi simili, dovresti pur aver avuto qualche idea su come procedere: prova un po' a descrivere ciò che hai pensato.
Specifica un po' meglio i termini del problema: ad esempio, devi studiare la sommabilità, ma dove?
Poi comincia ad indicare un po' la via che hai intrapreso; se hai fatto esercizi simili, dovresti pur aver avuto qualche idea su come procedere: prova un po' a descrivere ciò che hai pensato.
Hai ragione scusami...devo calcolare la sommabilità tra ]0,+$oo$[
Il problema è che non sò prorpio come approcciarmi...cioe sò che una funzione è sommabile se è impropriamente integrabile. Allora faccio l'integrale della funzione, ma poi non sò come proseguire
EDIT: Non faccio l'integrale scusate
Mi trovo gli intervalli
I(0) => f(x)$\sim$ $sqrt(x)log(2+(1/sqrt(x)))
I(1) => f(x)$\sim$ $(1)/root(alpha)(|x-1|)
I(3) => f(x)$\sim$ $(1)/root(beta)(|x-3|)
Ed è qui che non riesco ad andare avanti
Il problema è che non sò prorpio come approcciarmi...cioe sò che una funzione è sommabile se è impropriamente integrabile. Allora faccio l'integrale della funzione, ma poi non sò come proseguire
EDIT: Non faccio l'integrale scusate
Mi trovo gli intervalli
I(0) => f(x)$\sim$ $sqrt(x)log(2+(1/sqrt(x)))
I(1) => f(x)$\sim$ $(1)/root(alpha)(|x-1|)
I(3) => f(x)$\sim$ $(1)/root(beta)(|x-3|)
Ed è qui che non riesco ad andare avanti
Innanzitutto, la funzione è definita in tutto [tex]$]0,+\infty[$[/tex] o ci sono punti che danno problemi?
Se ci sono punti di tal fatta, che tipo di problemi danno?
Casomai è infinita in qualche punto "problematico"?
Ed in [tex]$0,\ +\infty$[/tex] come si comporta?
Inoltre, la funzione ha segno costante in [tex]$]0,\infty[$[/tex]?
Se la funzione è infinita in qualche punto, calcola l'ordine d'infinito e tieni presenti i risultati sulla sommabilità al finito.
Se la funzione ha limite [tex]$\neq 0$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex] dimenticati la sommabilità su [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; se invece l'integrando è infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex], allora calcolane l'ordine d'infinitesimo è tieni presenti i risultati sulla sommabilità all'infinito.
Vedi un po' cosa riesci a fare.
Se ci sono punti di tal fatta, che tipo di problemi danno?
Casomai è infinita in qualche punto "problematico"?
Ed in [tex]$0,\ +\infty$[/tex] come si comporta?
Inoltre, la funzione ha segno costante in [tex]$]0,\infty[$[/tex]?
Se la funzione è infinita in qualche punto, calcola l'ordine d'infinito e tieni presenti i risultati sulla sommabilità al finito.
Se la funzione ha limite [tex]$\neq 0$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex] dimenticati la sommabilità su [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; se invece l'integrando è infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex], allora calcolane l'ordine d'infinitesimo è tieni presenti i risultati sulla sommabilità all'infinito.
Vedi un po' cosa riesci a fare.
allora i punti critici sono quelli che ho scritto sopra con l'aggiunta di +$oo$
I(+$oo$) => f(x) ∼ $(sqrt(x))/(root(alpha)(x)-root(beta)(x))
In zero praticamente è infinitesima e quindi dovrebbe dire che in 0 e sommabile-in 1 in 3 e a +$oo$ bisogna adottare dei criteri che adesso non ricordo...qui mi blocco
I(+$oo$) => f(x) ∼ $(sqrt(x))/(root(alpha)(x)-root(beta)(x))
In zero praticamente è infinitesima e quindi dovrebbe dire che in 0 e sommabile-in 1 in 3 e a +$oo$ bisogna adottare dei criteri che adesso non ricordo...qui mi blocco
Hai quindi stabilito che [tex]$0$[/tex] non dà problemi (l'integrando si prolunga con continuità su [tex]$0$[/tex]); che in [tex]$1$[/tex] l'integrando è un infinito d'ordine [tex]$\frac{1}{\alpha}$[/tex]; che in [tex]$3$[/tex] l'integrando è infinito d'ordine [tex]$\frac{1}{\beta}$[/tex].
Il criterio è questo. Se in un punto al finito l'integrando è infinito d'ordine [tex]$<1$[/tex] (o minore di un [tex]$p<1$[/tex], se non è dotato d'ordine), allora sommabilità assicurata; se è infinito d'ordine [tex]$\geq 1$[/tex] allora niente sommabilità.
Viceversa, in [tex]$+\infty$[/tex] se l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$>1$[/tex] (o maggiore di un [tex]$p>1$[/tex], se non è dotato d'ordine), allora sommabilità assicurata; se è infinito d'ordine [tex]$\leq 1$[/tex] allora niente sommabilità.
(Se non li ricordi, vai a leggerti il libro di teoria... Esiste anche per queste evenienze.)
Nel tuo caso, per avere sommabilità intorno a [tex]$1$[/tex] bisogna che [tex]$\frac{1}{\alpha} <1$[/tex]; analogamente per avere sommabilità intorno a [tex]$3$[/tex] bisogna che [tex]$\frac{1}{\beta} <1$[/tex]. Da ciò si ricavano delle limitazioni su [tex]$\alpha ,\ \beta$[/tex].
Ora devi determinare l'ordine d'infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex]: qui forse ti conviene distinguere i casi [tex]$\alpha <\beta$[/tex], [tex]$\alpha =\beta$[/tex] e [tex]$\alpha >\beta$[/tex]. Devi fare un po' di conti...
"devil_prince":
in $1$ in $3$ e a $+oo$ bisogna adottare dei criteri che adesso non ricordo...qui mi blocco
Il criterio è questo. Se in un punto al finito l'integrando è infinito d'ordine [tex]$<1$[/tex] (o minore di un [tex]$p<1$[/tex], se non è dotato d'ordine), allora sommabilità assicurata; se è infinito d'ordine [tex]$\geq 1$[/tex] allora niente sommabilità.
Viceversa, in [tex]$+\infty$[/tex] se l'integrando è infinitesimo d'ordine [tex]$>1$[/tex] (o maggiore di un [tex]$p>1$[/tex], se non è dotato d'ordine), allora sommabilità assicurata; se è infinito d'ordine [tex]$\leq 1$[/tex] allora niente sommabilità.
(Se non li ricordi, vai a leggerti il libro di teoria... Esiste anche per queste evenienze.)
Nel tuo caso, per avere sommabilità intorno a [tex]$1$[/tex] bisogna che [tex]$\frac{1}{\alpha} <1$[/tex]; analogamente per avere sommabilità intorno a [tex]$3$[/tex] bisogna che [tex]$\frac{1}{\beta} <1$[/tex]. Da ciò si ricavano delle limitazioni su [tex]$\alpha ,\ \beta$[/tex].
Ora devi determinare l'ordine d'infinitesimo in [tex]$+\infty$[/tex]: qui forse ti conviene distinguere i casi [tex]$\alpha <\beta$[/tex], [tex]$\alpha =\beta$[/tex] e [tex]$\alpha >\beta$[/tex]. Devi fare un po' di conti...
dovrebbe essere $x^((1)/(alpha)+(1)/(beta)-(1/2))$>1 qui è sommabile,esatto?
Mi sei stato di grande aiuto ti ringrazio moltissimo...mi hai salvato l'esame
Mi sei stato di grande aiuto ti ringrazio moltissimo...mi hai salvato l'esame
Scusate se mi intrometto nella discussione, mi piacerebbe partecipare chiedendo alcune delucidazioni.
Per prima cosa, so che può sembrare banale, ma non avevo mai sentito il termine prima d'ora: sommabilità=integrabilità. Giusto?
Quindi, se è così, stiamo cercando di determinare per quali valori dei parametri $alpha$ e $beta$ l'integrale tra $(0,+oo)$ della funzione $f(x)$ scritta nel primo post esiste finito (e quindi o non è improprio ed è un normalissimo integrale di Riemann o se è improprio converge).
Chiedo scusa per la necessità di questo chiarimento banale, ma è per essere sicuro che stiamo parlando della stessa cosa.
In secondo luogo:
Scusami, ma non mi è molto chiaro ciò che stai dicendo, Gugo: le tue parole precise sono: se $lim_(x to +oo)f(x) ne 0 => f(x) " non sommabile su " (a,+oo)$. Giusto?
Posso chiedere una cosa: questo equivale, se non sbaglio, a dire che se l'integrale converge allora l'integrando è infinitesimo (per $x to +oo$).
Ho capito bene?
Se sì, ho un'altra domanda da fare, ma aspetto prima la tua risposta.
Scusami se ho frainteso le tue parole, ti chiedo questo chiarimento apposta.
Grazie.
Per prima cosa, so che può sembrare banale, ma non avevo mai sentito il termine prima d'ora: sommabilità=integrabilità. Giusto?
Quindi, se è così, stiamo cercando di determinare per quali valori dei parametri $alpha$ e $beta$ l'integrale tra $(0,+oo)$ della funzione $f(x)$ scritta nel primo post esiste finito (e quindi o non è improprio ed è un normalissimo integrale di Riemann o se è improprio converge).
Chiedo scusa per la necessità di questo chiarimento banale, ma è per essere sicuro che stiamo parlando della stessa cosa.
In secondo luogo:
"gugo82":
[...]
Se la funzione ha limite [tex]$\neq 0$[/tex] in [tex]$+\infty$[/tex] dimenticati la sommabilità su [tex]$]0,+\infty[$[/tex].
Scusami, ma non mi è molto chiaro ciò che stai dicendo, Gugo: le tue parole precise sono: se $lim_(x to +oo)f(x) ne 0 => f(x) " non sommabile su " (a,+oo)$. Giusto?
Posso chiedere una cosa: questo equivale, se non sbaglio, a dire che se l'integrale converge allora l'integrando è infinitesimo (per $x to +oo$).
Ho capito bene?
Se sì, ho un'altra domanda da fare, ma aspetto prima la tua risposta.
Scusami se ho frainteso le tue parole, ti chiedo questo chiarimento apposta.
Grazie.
La proposizione
(P) se $\lim_{x\to +\infty} f(x) \ne 0$ allora $f$ non è sommabile su $(a,+\infty)$
non è quella equivalente a quella da te riportata, ma a questa:
(Q) se $f: (a,+\infty)\to RR$ è sommabile ED esiste $\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$, allora $L=0$.
Infatti $f$ può essere tranquillamente sommabile ma non ammettere limite a $+\infty$.
(P) se $\lim_{x\to +\infty} f(x) \ne 0$ allora $f$ non è sommabile su $(a,+\infty)$
non è quella equivalente a quella da te riportata, ma a questa:
(Q) se $f: (a,+\infty)\to RR$ è sommabile ED esiste $\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$, allora $L=0$.
Infatti $f$ può essere tranquillamente sommabile ma non ammettere limite a $+\infty$.
$"A: " lim_(x to +oo) f(x) ne 0$
$"B: " f(x) " non sommabile su " (0, +oo)$
Abbiamo che $A=>B$. Ma questa implicazione è equivalente alla contronominale, cioè $not B => not A$.
$not "B:" f(x) " sommabile su " (0,+oo)$
$not "A:" lim_(x to +oo) f(x)" non esiste " vv " esiste nullo "$
Mi ero perso una possibilità negando la proposizione sul limite. Grazie.
Il mio dubbio nasceva proprio dal fatto che a lezione avevo visto che non era vera nessuna delle due implicazioni $ int_0^(+oo)f(x)dx " converge " iff " lim_(x to +oo) f(x)=0$: posso però concludere che gli unici casi "patologici" sono quelli in cui il limite non esiste (in effetti, come controesempio a lezione abbiamo fatto vedere che $int_0^(+oo) cos(x^2)dx$ converge, anche se l'integrando non ha limite).
Grazie.
P.S: dimenticavo. Ovviamente, non vale la freccia di "ritorno": se il limite è nullo, non posso dire nulla di certo circa la convergenza dell'integrale (cfr. $1/x$).
Grazie ancora.
$"B: " f(x) " non sommabile su " (0, +oo)$
Abbiamo che $A=>B$. Ma questa implicazione è equivalente alla contronominale, cioè $not B => not A$.
$not "B:" f(x) " sommabile su " (0,+oo)$
$not "A:" lim_(x to +oo) f(x)" non esiste " vv " esiste nullo "$
Mi ero perso una possibilità negando la proposizione sul limite. Grazie.
Il mio dubbio nasceva proprio dal fatto che a lezione avevo visto che non era vera nessuna delle due implicazioni $ int_0^(+oo)f(x)dx " converge " iff " lim_(x to +oo) f(x)=0$: posso però concludere che gli unici casi "patologici" sono quelli in cui il limite non esiste (in effetti, come controesempio a lezione abbiamo fatto vedere che $int_0^(+oo) cos(x^2)dx$ converge, anche se l'integrando non ha limite).
Grazie.
P.S: dimenticavo. Ovviamente, non vale la freccia di "ritorno": se il limite è nullo, non posso dire nulla di certo circa la convergenza dell'integrale (cfr. $1/x$).
Grazie ancora.
@Paolo90: in verità le mie non erano affermazioni di carattere generale, ma legate al caso specifico.
Chiarisco un po' la cosa.
Con sommabilità si intende l'integrabilità del valore assoluto: [tex]$\text{$f$ sommabile} \Leftrightarrow \text{$|f|$ integrabile}$[/tex] (ossia [tex]$\int_0^{+\infty} |f| \text{ d} x <+\infty$[/tex]).
Nel caso in questione, la [tex]$f$[/tex] ha segno definitivamente costante è non si annulla in alcun punto di [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; pertanto [tex]$|f|$[/tex] è positiva ([tex]$>0$[/tex]) in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; inoltre [tex]$|f|$[/tex] è continua per [tex]$x>3$[/tex].
La funzione integrale di [tex]$G(x):=\int_4^{x}|f(t)| \text{ d} t$[/tex] (il punto iniziale l'ho scelto per evitare le discontinuità, che non mi interessano) è quindi di classe [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$]3,+\infty[$[/tex] e strettamente crescente, quindi esiste certamente il [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x)$[/tex].
Supponiamo che [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esista e che [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x) \in ]0,+\infty [$[/tex]; in tal caso si ha:
[tex]$0=\lim_{x\to +\infty} \frac{G(x)}{x} \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex]
(ergo anche [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$[/tex]).
Ne viene che sono possibili le eventualità:
- o [tex]$|f|$[/tex] non ha limite in [tex]$+\infty$[/tex]: in tal caso non si può concludere nulla di certo in generale, ma in questo caso, avendo a disposizione l'espressione elementare di [tex]$f$[/tex] ci avremmo potuto lavorare sopra;
- oppure [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esiste ed è [tex]$\neq 0$[/tex]: in tal caso non puoi avere sommabilità per quanto appena visto;
- ovvero [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|=0$[/tex]: in tal caso avremmo avuto verificata una condizione necessaria alla sommabilità, ma avremmo comunque dovuto lavorare un altro po'.
Ora nel caso presente, mi è parso "ad occhio" che il primo caso non si potesse presentare; quindi ecco spiegato il perchè della mia affermazione.
Ciò non toglie che possa aver sbagliato... Bisognerebbe fare due conti, ma li lascio volentieri a voi.
Chiarisco un po' la cosa.
Con sommabilità si intende l'integrabilità del valore assoluto: [tex]$\text{$f$ sommabile} \Leftrightarrow \text{$|f|$ integrabile}$[/tex] (ossia [tex]$\int_0^{+\infty} |f| \text{ d} x <+\infty$[/tex]).
Nel caso in questione, la [tex]$f$[/tex] ha segno definitivamente costante è non si annulla in alcun punto di [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; pertanto [tex]$|f|$[/tex] è positiva ([tex]$>0$[/tex]) in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; inoltre [tex]$|f|$[/tex] è continua per [tex]$x>3$[/tex].
La funzione integrale di [tex]$G(x):=\int_4^{x}|f(t)| \text{ d} t$[/tex] (il punto iniziale l'ho scelto per evitare le discontinuità, che non mi interessano) è quindi di classe [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$]3,+\infty[$[/tex] e strettamente crescente, quindi esiste certamente il [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x)$[/tex].
Supponiamo che [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esista e che [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x) \in ]0,+\infty [$[/tex]; in tal caso si ha:
[tex]$0=\lim_{x\to +\infty} \frac{G(x)}{x} \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex]
(ergo anche [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$[/tex]).
Ne viene che sono possibili le eventualità:
- o [tex]$|f|$[/tex] non ha limite in [tex]$+\infty$[/tex]: in tal caso non si può concludere nulla di certo in generale, ma in questo caso, avendo a disposizione l'espressione elementare di [tex]$f$[/tex] ci avremmo potuto lavorare sopra;
- oppure [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esiste ed è [tex]$\neq 0$[/tex]: in tal caso non puoi avere sommabilità per quanto appena visto;
- ovvero [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|=0$[/tex]: in tal caso avremmo avuto verificata una condizione necessaria alla sommabilità, ma avremmo comunque dovuto lavorare un altro po'.
Ora nel caso presente, mi è parso "ad occhio" che il primo caso non si potesse presentare; quindi ecco spiegato il perchè della mia affermazione.
Ciò non toglie che possa aver sbagliato... Bisognerebbe fare due conti, ma li lascio volentieri a voi.
Gugo, ti ringrazio per la tua esauriente risposta. Sei ancora una volta molto chiaro.
Perfetto, tutto chiaro fin qui.
E' certo una bella dimostrazione questa del fatto di cui si sta parlando. Brillante applicazione di De l'Hopital, capito.
In effetti, come ho già detto, la mia domanda nasceva da un fatto visto a lezione; tuttavia, ora le idee sono molto più chiare. E indubbiamente questo ragionamento aiuta in alcuni casi a capire come si comporta l'integrale.
Per quanto riguarda l'esercizio in questione, non ho grandi idee su come lavorare all'infinito; ho concluso anche io ciò che avete concluso voi al finito (non era difficile), tuttavia all'infinito non è così easy. Idee pratiche su come procedere? Suggerivi di studiare separatamente i casi $alpha > beta$, $alpha=beta$, $alpha
L'unica cosa che sono riuscito a concludere, ma ho qualche dubbio al riguardo, è che se $alpha=beta$ allora l'integrando è equivalente a $x^(1/2-2/alpha)$, che converge a $+oo$ se e solo se $alpha<4/3$.
Che dici? Ho cannato qualcosa nei conti? E negli altri casi qual è l'idea? Ti ringrazio molto per l'aiuto. Davvero.
"gugo82":
@Paolo90: in verità le mie non erano affermazioni di carattere generale, ma legate al caso specifico.
Chiarisco un po' la cosa.
Con sommabilità si intende l'integrabilità del valore assoluto: [tex]$\text{$f$ sommabile} \Leftrightarrow \text{$|f|$ integrabile}$[/tex] (ossia [tex]$\int_0^{+\infty} |f| \text{ d} x <+\infty$[/tex]).
Nel caso in questione, la [tex]$f$[/tex] ha segno definitivamente costante è non si annulla in alcun punto di [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; pertanto [tex]$|f|$[/tex] è positiva ([tex]$>0$[/tex]) in [tex]$]0,+\infty[$[/tex]; inoltre [tex]$|f|$[/tex] è continua per [tex]$x>3$[/tex].
La funzione integrale di [tex]$G(x):=\int_4^{x}|f(t)| \text{ d} t$[/tex] (il punto iniziale l'ho scelto per evitare le discontinuità, che non mi interessano) è quindi di classe [tex]$C^1$[/tex] in [tex]$]3,+\infty[$[/tex] e strettamente crescente, quindi esiste certamente il [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x)$[/tex].
Perfetto, tutto chiaro fin qui.
"Gugo82":
Supponiamo che [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esista e che [tex]$\lim_{x\to +\infty} G(x) \in ]0,+\infty [$[/tex]; in tal caso si ha:
[tex]$0=\lim_{x\to +\infty} \frac{G(x)}{x} \stackrel{H}{=} \lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex]
(ergo anche [tex]$\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$[/tex]).
E' certo una bella dimostrazione questa del fatto di cui si sta parlando. Brillante applicazione di De l'Hopital, capito.
"Gugo82":
Ne viene che sono possibili le eventualità:
- o [tex]$|f|$[/tex] non ha limite in [tex]$+\infty$[/tex]: in tal caso non si può concludere nulla di certo in generale, ma in questo caso, avendo a disposizione l'espressione elementare di [tex]$f$[/tex] ci avremmo potuto lavorare sopra;
- oppure [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|$[/tex] esiste ed è [tex]$\neq 0$[/tex]: in tal caso non puoi avere sommabilità per quanto appena visto;
- ovvero [tex]$\lim_{x\to +\infty} |f(x)|=0$[/tex]: in tal caso avremmo avuto verificata una condizione necessaria alla sommabilità, ma avremmo comunque dovuto lavorare un altro po'.
Ora nel caso presente, mi è parso "ad occhio" che il primo caso non si potesse presentare; quindi ecco spiegato il perchè della mia affermazione.
Ciò non toglie che possa aver sbagliato... Bisognerebbe fare due conti, ma li lascio volentieri a voi.
In effetti, come ho già detto, la mia domanda nasceva da un fatto visto a lezione; tuttavia, ora le idee sono molto più chiare. E indubbiamente questo ragionamento aiuta in alcuni casi a capire come si comporta l'integrale.
Per quanto riguarda l'esercizio in questione, non ho grandi idee su come lavorare all'infinito; ho concluso anche io ciò che avete concluso voi al finito (non era difficile), tuttavia all'infinito non è così easy. Idee pratiche su come procedere? Suggerivi di studiare separatamente i casi $alpha > beta$, $alpha=beta$, $alpha
L'unica cosa che sono riuscito a concludere, ma ho qualche dubbio al riguardo, è che se $alpha=beta$ allora l'integrando è equivalente a $x^(1/2-2/alpha)$, che converge a $+oo$ se e solo se $alpha<4/3$.
Che dici? Ho cannato qualcosa nei conti? E negli altri casi qual è l'idea? Ti ringrazio molto per l'aiuto. Davvero.
@Paolo90: Quel consiglio l'ho dato perchè mi sono fidato di questa deduzione:
che però, essendo il testo esatto dell'esercizio questo:
non è esatta, perchè presenta un [tex]$-$[/tex] al posto di un [tex]$\cdot$[/tex]...
Quindi non c'è affatto bisogno di distinguere casi: intorno a [tex]$+\infty$[/tex] il nostro integrando [tex]$\frac{\sqrt{x} \ln \left( 2+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\sqrt[\alpha]{|x-1|} \ \sqrt[\beta]{|x-3|}}$[/tex] si comporta esattamente come [tex]$\frac{1}{x^{\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2}}}$[/tex], la quale è infinitesima e sommabile solo se [tex]$\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2} >1$[/tex].
Ne viene che la regione [tex]$D$[/tex] del piano [tex]$\alpha \beta$[/tex] in cui è possibile scegliere i nostri parametri affinché l'integrando sia sommabile è quella delimitata dalle disuguaglianze:
[tex]$\begin{cases} \frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2} >1 \\ \frac{1}{\alpha} <1 \\ \frac{1}{\beta} <1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \alpha >1 \\ \beta >1 \\ \frac{1}{\beta} >\frac{3\alpha -2}{2\alpha} \end{cases}$[/tex]
ossia:
[tex]$\begin{cases} \alpha >1 \\ \beta >1 \\ \beta <\frac{2\alpha}{3\alpha -2} \end{cases}$[/tex];
[tex]$D$[/tex] è costituita dai punti [tex]$(\alpha ,\beta)$[/tex] che stanno sopra la retta d'equazione [tex]$\beta =1$[/tex], a destra della retta d'equazione [tex]$\alpha =1$[/tex] e sotto il ramo dell'iperbole d'equazione [tex]$\beta =\frac{2\alpha}{3\alpha -2}$[/tex] che si trova tutto nel primo quadrante.
[tex]$D$[/tex] è rappresentata qui sotto:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
text([1.2,1.2],"D");
stroke="dodgerblue";
plot("(2*x)/(3*x-2)",1,2);
plot("1",1,2);
line([1,2],[1,1]);[/asvg]
N.B.: i punti del contorno in blu non fanno parte di [tex]$D$[/tex] (perchè non verificano tutte e tre le disuguaglianze strette che individuano [tex]$D$[/tex]).
Esercizio supplementare:
In quanto scritto finora ho supposto [tex]$\alpha ,\ \beta >0$[/tex] anche se non era specificato nel post iniziale.
Ho fatto bene o, secondo voi, mi sono perso quanche valore dei parametri che rendono sommabile l'integrando?
In altre parole, se [tex]$\alpha < 0$[/tex] [risp. [tex]$\beta < 0$[/tex]] posso scegliere qualche [tex]$\beta \in \mathbb{R}$[/tex] [risp. [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex]] in modo da rendere sommabile il tutto?
"devil_prince":
$f(x) ~ (sqrt(x))/(root(alpha)(x)-root(beta)(x))$
che però, essendo il testo esatto dell'esercizio questo:
"devil_prince":
$f(x)=(sqrt(x)log(2+1/sqrt(x)))/(root(\alpha)(|x-1|)*3root(\beta)(|x-3|))
non è esatta, perchè presenta un [tex]$-$[/tex] al posto di un [tex]$\cdot$[/tex]...
Quindi non c'è affatto bisogno di distinguere casi: intorno a [tex]$+\infty$[/tex] il nostro integrando [tex]$\frac{\sqrt{x} \ln \left( 2+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\sqrt[\alpha]{|x-1|} \ \sqrt[\beta]{|x-3|}}$[/tex] si comporta esattamente come [tex]$\frac{1}{x^{\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2}}}$[/tex], la quale è infinitesima e sommabile solo se [tex]$\frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2} >1$[/tex].
Ne viene che la regione [tex]$D$[/tex] del piano [tex]$\alpha \beta$[/tex] in cui è possibile scegliere i nostri parametri affinché l'integrando sia sommabile è quella delimitata dalle disuguaglianze:
[tex]$\begin{cases} \frac{1}{\alpha} +\frac{1}{\beta} -\frac{1}{2} >1 \\ \frac{1}{\alpha} <1 \\ \frac{1}{\beta} <1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \alpha >1 \\ \beta >1 \\ \frac{1}{\beta} >\frac{3\alpha -2}{2\alpha} \end{cases}$[/tex]
ossia:
[tex]$\begin{cases} \alpha >1 \\ \beta >1 \\ \beta <\frac{2\alpha}{3\alpha -2} \end{cases}$[/tex];
[tex]$D$[/tex] è costituita dai punti [tex]$(\alpha ,\beta)$[/tex] che stanno sopra la retta d'equazione [tex]$\beta =1$[/tex], a destra della retta d'equazione [tex]$\alpha =1$[/tex] e sotto il ramo dell'iperbole d'equazione [tex]$\beta =\frac{2\alpha}{3\alpha -2}$[/tex] che si trova tutto nel primo quadrante.
[tex]$D$[/tex] è rappresentata qui sotto:
[asvg]xmin=0;xmax=3;ymin=0;ymax=3;
axes("labels");
text([1.2,1.2],"D");
stroke="dodgerblue";
plot("(2*x)/(3*x-2)",1,2);
plot("1",1,2);
line([1,2],[1,1]);[/asvg]
N.B.: i punti del contorno in blu non fanno parte di [tex]$D$[/tex] (perchè non verificano tutte e tre le disuguaglianze strette che individuano [tex]$D$[/tex]).
Esercizio supplementare:
In quanto scritto finora ho supposto [tex]$\alpha ,\ \beta >0$[/tex] anche se non era specificato nel post iniziale.
Ho fatto bene o, secondo voi, mi sono perso quanche valore dei parametri che rendono sommabile l'integrando?
In altre parole, se [tex]$\alpha < 0$[/tex] [risp. [tex]$\beta < 0$[/tex]] posso scegliere qualche [tex]$\beta \in \mathbb{R}$[/tex] [risp. [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex]] in modo da rendere sommabile il tutto?
Ciao. 
Perfetto, ora è tutto chiaro. Ho capito come hai lavorato; non mi sarebbe mai venuto in mente di disegnare la regione $D$. Tuttavia, per il resto, i conti sono standard e ho perfettamente capito come bisogna procedere.
Grazie.
Dunque vediamo un po' se i miei conti sono giusti.
Supponiamo ad esempio che sia $alpha<0$.
Abbiamo appurato che in $0$ non ci sono mai problemi, giacchè l'integrando resta limitato in un intorno di $0$ (perchè prolungabile per continuità): perciò, l'integrale continua a non essere improprio in $0$.
In questo caso, inoltre, non abbiamo alcun tipo di problema in $x=1$ (l'esponente negativo a denominatore fa andare al numeratore il fattore).
L'integrale è improprio quindi solo per $x to 3$ e ovviamente all'infinito.
Per $x to 3$ non cambia nulla: abbiamo convergenza se e solo se $1/b<1$.
Per $x to +oo$, invece, la frazione è equivalente a $1/(x^(1/beta-1/alpha-1/2))$: perciò si ha convergenza se e solo se $1/beta-1/alpha-1/2>1$. Facendo un po' di conti, si trova che deve essere $beta<(2alpha)/(3alpha+2)$.
Adesso, il mio ragionamento è stato: impongo che $(2alpha)/(3alpha+2)>1$ e vedo se questo succede per valori negativi di $alpha$. In sostanza, risolvo il sistema
[tex]$\begin{cases} \frac{2\alpha}{3\alpha+2} >1 \\ \alpha<0 \end{cases}$[/tex]
Trovo che esso è risolto per $-2
In sostanza concludo che se $-21$ per la convergenza al finito; e $beta<(2alpha)/(3alpha+2)$ per la convergenza all'infinito (abbiamo fatto in modo che la frazione fosse maggiore di $1$ proprio perchè questo insieme cui $beta$ deve appartenere non fosse vuoto).
Il ragionamento fatto ora può essere ripetuto pari pari (i conti non cambiano per nulla, se ho visto bene) sostituendo $beta$ in luogo $alpha$, e viceversa. Ovviamente, si tenga presente che in questo caso l'imtegrale è improprio in $1$ (non più in $3$!) e $+oo$.
Corretto o ho sbagliato?
Grazie per il tuo impegno, la tua pazienza e la tua disponibilità.
Perfetto, ora è tutto chiaro. Ho capito come hai lavorato; non mi sarebbe mai venuto in mente di disegnare la regione $D$. Tuttavia, per il resto, i conti sono standard e ho perfettamente capito come bisogna procedere.
Grazie.
"Gugo82":
Esercizio supplementare:
In quanto scritto finora ho supposto [tex]$\alpha ,\ \beta >0$[/tex] anche se non era specificato nel post iniziale.
Ho fatto bene o, secondo voi, mi sono perso quanche valore dei parametri che rendono sommabile l'integrando?
In altre parole, se [tex]$\alpha < 0$[/tex] [risp. [tex]$\beta < 0$[/tex]] posso scegliere qualche [tex]$\beta \in \mathbb{R}$[/tex] [risp. [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex]] in modo da rendere sommabile il tutto?
Dunque vediamo un po' se i miei conti sono giusti.
Supponiamo ad esempio che sia $alpha<0$.
Abbiamo appurato che in $0$ non ci sono mai problemi, giacchè l'integrando resta limitato in un intorno di $0$ (perchè prolungabile per continuità): perciò, l'integrale continua a non essere improprio in $0$.
In questo caso, inoltre, non abbiamo alcun tipo di problema in $x=1$ (l'esponente negativo a denominatore fa andare al numeratore il fattore).
L'integrale è improprio quindi solo per $x to 3$ e ovviamente all'infinito.
Per $x to 3$ non cambia nulla: abbiamo convergenza se e solo se $1/b<1$.
Per $x to +oo$, invece, la frazione è equivalente a $1/(x^(1/beta-1/alpha-1/2))$: perciò si ha convergenza se e solo se $1/beta-1/alpha-1/2>1$. Facendo un po' di conti, si trova che deve essere $beta<(2alpha)/(3alpha+2)$.
Adesso, il mio ragionamento è stato: impongo che $(2alpha)/(3alpha+2)>1$ e vedo se questo succede per valori negativi di $alpha$. In sostanza, risolvo il sistema
[tex]$\begin{cases} \frac{2\alpha}{3\alpha+2} >1 \\ \alpha<0 \end{cases}$[/tex]
Trovo che esso è risolto per $-2
In sostanza concludo che se $-2
Il ragionamento fatto ora può essere ripetuto pari pari (i conti non cambiano per nulla, se ho visto bene) sostituendo $beta$ in luogo $alpha$, e viceversa. Ovviamente, si tenga presente che in questo caso l'imtegrale è improprio in $1$ (non più in $3$!) e $+oo$.
Corretto o ho sbagliato?
Grazie per il tuo impegno, la tua pazienza e la tua disponibilità.
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