Calcolo di residui nel punto all'infinito di funzioni sotto il segno di radice (PROBLEMA COI SEGNI!!)

[fisicarlo]

Ad esempio:
$ int_(-a)^(a) sqrt(a^2-x^2) dx $
si può calcolare con semplicità senza l'uso dei residui, e vale:
$ int_(-a)^(a) sqrt(a^2-x^2) dx = a^2int_(-a)^(a) sqrt(1-(x/a)^2) d(x/a) =$
$ a^2int_(-1)^(1) sqrt(1-y^2) dy= a^2int_(-pi/2)^(pi/2) sqrt(1-(sin(t))^2) d(sin(t)) = $
$ a^2int_(-pi/2)^(pi/2) cos^2(t) dt=a^2*(t+sin(t)cos(t))/2|_(-pi/2)^(+pi/2) =a^2pi/2 $

Calcolando con il teorema dei residui si ha a che fare con una funzione polidroma con punti di diramazione in $-a$ e $+a$
Quindi dobbiamo tagliare il piano complesso lungo il segmento che unisce questi due punti, e la radice avrà valori opposti nella parte superiore e inferiore del taglio : $exp(i*alpha*2pi)=(exp(i(1/2*2pi)))=-1$
Scegliendo la determinazione della radice positiva lungo il bordo superiore del taglio possiamo guardare l'integrale come la metà di un integrale lungo un cammino chiuso percorso in senso orario che gira attorno ai due punti di diramazione, in modo tale che
$ int_(-a)^(a) sqrt(a^2-x^2) dx = 1/2 oint_(bar(C) ) sqrt(a^2-z^2) dz $ , dal momento che $ lim_(epsilon -> 0) oint_(Cepsilon) =lim_(epsilon -> 0) oint_(C'epsilon) =0 $
con $bar(C)$ che indica il cammino persorso in verso "negativo" (orario)
[geogebra][/geogebra]
Ma l'integrale su un cammino percorso in verso negativo è prprio uguale al residuo della funzione all'infinito preso col SEGNO POSITIVO (e moltplicato per $2pi i$), dal momento che la funzione non ha altre singolarità al finito oltre ai due punti di diramazione.
Ora calcolando il residuo all''infinito mi viene un valore OPPOSTO a quello corretto, e NON CAPISCO IL PERCHE' !!
$Res[sqrt(a^2-z^2),z=infty]=$
$Res[sqrt(a^2-(1/w)^2)*(-1/w^2),w=0]$
$ Res[(-1/w^3sqrt(w^2a^2-1)),w=0]=$
$ Res[(-1/w^3)sqrt((-1)(1-w^2a^2)),w=0] = $ (***)
$ Res[(-1/w^3)(i)(1-1/2*w^2a^2-1/8w^4*a^4+O(w^6))),w=0] $
$ Res[((-i)*(1/w^3-1/2*a^2/w-1/8a^4*w+O(w^3))),w=0] $
$ Res[(+i*(-1/w^3+1/2*a^2/w+1/8a^4*w-O(w^3))),w=0] $
e il coefficiente $c_(-1)$ di questa serie di Laurent risulta $+i*a^2/2$
da cui $ int_(-a)^(a) sqrt(a^2-x^2) dx = +1/2*(2pi i)*Res[ sqrt(a^2-z^2) ,z,infty]=(pi i)*ia^2/2=-pia^2/2$
In realtà il libro quando fa la radice quadrata di (-1) [passaggio (***) ] porta fuori radice un $-i$ anzichè una $i$
e in questo modo alla fine si trova correttamente il segno $+$, ma proprio non arrivo a capire il perchè...
Ho fatto tanti esercizi con gli i residui all'infinito, e mi sono sempre trovato, tranne quando mi trovo questa benedetta radice quadrata...
Perchè il libro quando fa la serie di Laurent della radice caccia fuori $-i$ anzichè $i$ ??
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Aggiungo che in un altro esercizio c'era da calcolare la somma dei residui di una radice nei due punti $0$ e $infty$, e il libro quando faceva i calcoli con il residuo nel punto 0 prendeva come radice di (-1) $+i=exp(ipi/2)$, mentre quando calcolava il residuo del punto all'infinito prendeva come radice di (-1) $-i=exp(-ipi/2)$ !!

$Res[sqrt(-a+b/r-lambda^2/r^2),r=0]=Res[i*lambda/r*sqrt(1-br/lambda^2+ar^2/lambda^2),r=0]$
$Res[sqrt(-a+b/r-lambda^2/r^2),r=infty]=Res[-i*sqrt(a)*sqrt(1-b/(ar)+lambda^2/(ar^2)),r=infty] $