Calcolo di radici cubiche e quadrate di numeri complessi
Salve, sono uno studente del primo anno e volevo sapere che potreste dirmi queste due risposte se sono corrette:
- Calcolo della radice quadrata complessa di [tex]1+i\sqrt3[/tex], che secondo me risulta [tex]\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex] e [tex]-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex].
- Calcolo della radice cubica complessa di [tex]\frac{-1+i\sqrt3}{2}[/tex], che secondo me risulta [tex]cos\frac{2}{9}$\pi$+isin \frac{1}{9}$\pi$[/tex], [tex]cos\frac{8}{9}$\pi$+isin \frac{7}{9}$\pi$[/tex] e [tex]cos\frac{14}{9}$\pi$+isin \frac{13}{9}$\pi$[/tex].
Spero di aver utilizzato la tecnica giusta...
Grazie anticipatamente
- Calcolo della radice quadrata complessa di [tex]1+i\sqrt3[/tex], che secondo me risulta [tex]\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex] e [tex]-\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex].
- Calcolo della radice cubica complessa di [tex]\frac{-1+i\sqrt3}{2}[/tex], che secondo me risulta [tex]cos\frac{2}{9}$\pi$+isin \frac{1}{9}$\pi$[/tex], [tex]cos\frac{8}{9}$\pi$+isin \frac{7}{9}$\pi$[/tex] e [tex]cos\frac{14}{9}$\pi$+isin \frac{13}{9}$\pi$[/tex].
Spero di aver utilizzato la tecnica giusta...
Grazie anticipatamente
Risposte
La "tecnica giusta" è
usare la rappresentazione trigonometrica del numero complesso:
trovi la radice reale positiva n-esima del modulo,
e dividi
l'argomento per n.
Siccome l'argomento è definito a meno di $k2\pi$, $k\in\ZZ$,
devi dividere per esempio per n anche $k2\pi$, $k=+-1,+-2,... $.
Vedrai che hai, comunque, n numeri complessi distinti.
Graficamente è semplicissimo:
disegni il vettore nel piano complesso -prendi un n-esimo
l'angolo dall'asse reale al vettore (quest'angolo è l'argomento principale -se non sbaglio!), poi
aggiungi via via a questo $(2\pi)/n$ -e cambia il modulo nella radice n-esima del modulo di $z$.
Vedi che così hai esattamente n numeri complessi distinti.
Nel primo tuo caso il modulo è $2$ e l'argomento principale è $\pi/3$
mentre hai considerato il modulo $sqrt(2)$ che $2$ _ma $sqrt(1^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2)$
Ti lascio il secondo esercizio.
usare la rappresentazione trigonometrica del numero complesso:
trovi la radice reale positiva n-esima del modulo,
e dividi
l'argomento per n.
Siccome l'argomento è definito a meno di $k2\pi$, $k\in\ZZ$,
devi dividere per esempio per n anche $k2\pi$, $k=+-1,+-2,... $.
Vedrai che hai, comunque, n numeri complessi distinti.
Graficamente è semplicissimo:
disegni il vettore nel piano complesso -prendi un n-esimo
l'angolo dall'asse reale al vettore (quest'angolo è l'argomento principale -se non sbaglio!), poi
aggiungi via via a questo $(2\pi)/n$ -e cambia il modulo nella radice n-esima del modulo di $z$.
Vedi che così hai esattamente n numeri complessi distinti.
Nel primo tuo caso il modulo è $2$ e l'argomento principale è $\pi/3$
mentre hai considerato il modulo $sqrt(2)$ che $2$ _ma $sqrt(1^2+(sqrt(3))^2)=sqrt(1+3)=sqrt(4)=2)$
Ti lascio il secondo esercizio.
Scusami ma non ho ben capito... perché devo usare [tex]2[/tex] invece di [tex]\sqrt2[/tex] ??? (devo farlo non geometricamente comunque)
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