Calcolo di questo integrale
scusate ragazzi ma sono fuori allenamento, lo ammetto:
devo calcolare questo integrale:
$ -CA_0sqrt(2gz)=sum (na_nz^(n-1)dz/dt) $
non so se l'avete riconosciuta, ma è l'espressione per il vuotamento di un serbatoio.
g costante gravitazione, C costante
devo integrare per:
- t che va da 0 a t
- z che va da H (per t=0) e z (per t).
so che devo separare le variabili, ma quella sommatoria mi fa confusione.
il risultato è:
$ t=2/(CA_0 sqrt(2gH)) sum H^n(na_n)/(2n-1)(1-(z/H)^(n-1/2) )$
potreste scrivermi qualche passaggio intermedio? so che è facile ma, ripeto, la sommatoria mi crea confusione
devo calcolare questo integrale:
$ -CA_0sqrt(2gz)=sum (na_nz^(n-1)dz/dt) $
non so se l'avete riconosciuta, ma è l'espressione per il vuotamento di un serbatoio.
g costante gravitazione, C costante
devo integrare per:
- t che va da 0 a t
- z che va da H (per t=0) e z (per t).
so che devo separare le variabili, ma quella sommatoria mi fa confusione.
il risultato è:
$ t=2/(CA_0 sqrt(2gH)) sum H^n(na_n)/(2n-1)(1-(z/H)^(n-1/2) )$
potreste scrivermi qualche passaggio intermedio? so che è facile ma, ripeto, la sommatoria mi crea confusione
Risposte
Basta ricordare che,riducendo all'osso la cosa, l'integrale di una somma è uguale alla somma degli integrali.Almeno per le somme finite.Per quelle infinite il discorso può cambiare.Allora si ha:
\( \displaystyle dt=-\frac{1}{CA_0\sqrt{2g}}\sum na_nz^{n-\frac{3}{2}}dz\)
Integrando rispetto a z da H a z ( ed osservando che per ipotesi è t=0 per z=H) si ha:
\( \displaystyle t=-\frac{1}{ CA_0\sqrt{2g}} \sum na_n\int_{H}^z z^{n-\frac{3}{2}}dz\)
Ovvero:
\( \displaystyle t=-\frac{1}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum na_n \left [\frac{z^{n-\frac{1}{2}}}{n-\frac{1}{2}} \right]_H^z=\)
Da cui:
\(\displaystyle t=\frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \left [z^{n-\frac{1}{2}} \right]_z^H=\)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \left [H^{n-\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} H^{n-\frac{1}{2}}\left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \frac{H^n}{H^{\frac{1}{2}} }\left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2gH} } \sum \frac{na_n}{2n-1} H^n \left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] \)
\( \displaystyle dt=-\frac{1}{CA_0\sqrt{2g}}\sum na_nz^{n-\frac{3}{2}}dz\)
Integrando rispetto a z da H a z ( ed osservando che per ipotesi è t=0 per z=H) si ha:
\( \displaystyle t=-\frac{1}{ CA_0\sqrt{2g}} \sum na_n\int_{H}^z z^{n-\frac{3}{2}}dz\)
Ovvero:
\( \displaystyle t=-\frac{1}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum na_n \left [\frac{z^{n-\frac{1}{2}}}{n-\frac{1}{2}} \right]_H^z=\)
Da cui:
\(\displaystyle t=\frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \left [z^{n-\frac{1}{2}} \right]_z^H=\)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \left [H^{n-\frac{1}{2}}-z^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} H^{n-\frac{1}{2}}\left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2g} } \sum \frac{na_n}{2n-1} \frac{H^n}{H^{\frac{1}{2}} }\left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] = \)
\(\displaystyle = \frac{2}{ CA_0\sqrt{2gH} } \sum \frac{na_n}{2n-1} H^n \left [1-\left(\frac{z}{H}\right)^{n-\frac{1}{2}} \right] \)
ti ringrazio veramente tanto. Infatti subito dopo aver finito di scrivere mi era venuto in mente che, vista la somma finita, potevo fare gli integrali dei vari addendi.
In effetti potevo impegnarmi un po' ed arrivarci da solo con un po' di pazienza.
Ti ringrazio veramente tanto, anche per la pazienza per scrivere tutti i passaggi.
Lunedi ho l'esame di costruzioni idrauliche..speriamo bene, potrebbe chiedermi questa dimostrazione come domanda di teoria.
ciaoooo
In effetti potevo impegnarmi un po' ed arrivarci da solo con un po' di pazienza.
Ti ringrazio veramente tanto, anche per la pazienza per scrivere tutti i passaggi.
Lunedi ho l'esame di costruzioni idrauliche..speriamo bene, potrebbe chiedermi questa dimostrazione come domanda di teoria.
ciaoooo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo