Calcolo di Primitive con parametri e studio di funzione integrale
Ciao a tutti! Prima di tutto complimenti per il lavoro che svolgete 
sono uno studente (fuori corso da tempo purtroppo 
) che è alle prese con l'esame di Analisi. Lo scritto l'ho svolto l'altro giorno ed ora, visto che non ho modo di riscontri per capire se ciò che ho fatto è giusto, avrei bisogno dei vostri suggerimenti per arrivare il più preparato possibile all'orale della prossima settimana 
L'esercizio di analisi di cui vorrei sapere procedimento e se foste così gentili anche del risultato è questo:
1) Data la funzione $ f(x)={ ( arccos(x) ),( ax+b ):} $ con $ arccos(x) $ per $ -1<=x<=1 $ e $ ax+b $ altrove.
Determinare i valori di a, b reali per cui la funzione f(x) ha primitive in tutto $ (-oo ,+oo) $ e calcolarle:
Per fare ciò io ho detto che essendo funzioni continue, f(x) avrà sicuramente primitive in tutto l'insieme di definizione, successivamente ho calcolato l'integrale dell'arcocoseno nel suo dominio che dovrebbe essere $ int arccos(x)dx=x*1/cos(x)-sqrt(1-x^2) $, questo risultato l'ho chiamato h(x) e poi l'integrale di ax+b in tutto R che dovrebbe essere $ int (ax+b)dx=a/2*x^2+bx $ che ho chiamato z(x).
Fatto ciò ho imposto che nei punti in cui le due funzioni si raccordano i limiti debbano essere uguali ovvero:
$ lim_(x -> -1)[h(x)]=lim_(x->-1)[z(x)] $ e facendo i conti dovrebbe venire: $ a/2-b+pi $
e
$ lim_(x -> 1)[h(x)]=lim_(x->1)[z(x)] $ che risulterebbe: $ a/2+b $
Infine per trovare a e b ho messo a sistema ciò che ho trovato nelle uguaglianze dei limiti ed ho ottenuto $ a=-pi $ e $ b=pi/2 $ di conseguenza tutte le primitive sono i risultati degli integrali precedenti con a e b con questi valori!
Questo è quanto per il primo punto. Ditemi che ho fatto correttamente vi prego
2) Per a=1, b=-1 tracciare il grafico della funzione $ g(x)=int_(-2)^(x) f(t) dx $ con f(t) la funzione f(x) di prima con a=1 e b=-1, precisando dominio, continuità, derivabilità, monotonia e convessità.
Qua credo di aver pasticciato un po', l'insieme di definizione dovrebbe essere lo stesso di f(x), derivabile perché sistema di funzioni derivabili e continua perché sistema di funzioni continue nei loro domini.
Per disegnarla quindi ho calcolato la derivata prima di g(x) che è la stessa f(x) e l'ho posta maggiore e uguale di zero per vedere dove cresce e dove decresce ed ho ottenuto che cresce per $ x>=1 $ anche se in realtà l' $ arccos (x) $ è crescente per $ -1<=x<=1 $ che a sistema mi da solo x=1
Per la convessità ho derivato nuovamente e ho trovato per quali intervalli la funzione è concava o convessa.
Infine ho tracciato un grafico con un andamento strano per quanto mi pare e infatti chiedo a voi lumi
3) Sempre con a=1, b=-1 calcolare, se esiste, $ int_(-2)^(2) f(t) dt $:
Ultimo pezzo ho scomposto l'integrale nei vari intervalli e li ho risolti singolarmente dopo aver detto che esiste la soluzione sempre perché insieme di funzioni continue negli intervalli considerati.
$ int_(-2)^(2) f(t) dt=int_(-2)^(-1) (t-1) dt + int_(-1)^(1) arccos(t) dt + int_(1)^(2) (t-1) dt $
che se ho fatto bene i conti dovrebbe venire $ int_(-2)^(2) f(t) dt=-2+pi $ e anche qui spero mi diciate che non ho toppato
Mi scuso se mi sono dilungato ma pensavo fosse meno dispersivo aprire più discussioni per ogni punto dell'esercizio che mi è stato dato.
Aspettando preoccupato un vostro riscontro vi ringrazio davvero di cuore
Buona serata, Matteo
sono uno studente (fuori corso da tempo purtroppo ) che è alle prese con l'esame di Analisi. Lo scritto l'ho svolto l'altro giorno ed ora, visto che non ho modo di riscontri per capire se ciò che ho fatto è giusto, avrei bisogno dei vostri suggerimenti per arrivare il più preparato possibile all'orale della prossima settimana L'esercizio di analisi di cui vorrei sapere procedimento e se foste così gentili anche del risultato è questo:
1) Data la funzione $ f(x)={ ( arccos(x) ),( ax+b ):} $ con $ arccos(x) $ per $ -1<=x<=1 $ e $ ax+b $ altrove.
Determinare i valori di a, b reali per cui la funzione f(x) ha primitive in tutto $ (-oo ,+oo) $ e calcolarle:
Per fare ciò io ho detto che essendo funzioni continue, f(x) avrà sicuramente primitive in tutto l'insieme di definizione, successivamente ho calcolato l'integrale dell'arcocoseno nel suo dominio che dovrebbe essere $ int arccos(x)dx=x*1/cos(x)-sqrt(1-x^2) $, questo risultato l'ho chiamato h(x) e poi l'integrale di ax+b in tutto R che dovrebbe essere $ int (ax+b)dx=a/2*x^2+bx $ che ho chiamato z(x).
Fatto ciò ho imposto che nei punti in cui le due funzioni si raccordano i limiti debbano essere uguali ovvero:
$ lim_(x -> -1)[h(x)]=lim_(x->-1)[z(x)] $ e facendo i conti dovrebbe venire: $ a/2-b+pi $
e
$ lim_(x -> 1)[h(x)]=lim_(x->1)[z(x)] $ che risulterebbe: $ a/2+b $
Infine per trovare a e b ho messo a sistema ciò che ho trovato nelle uguaglianze dei limiti ed ho ottenuto $ a=-pi $ e $ b=pi/2 $ di conseguenza tutte le primitive sono i risultati degli integrali precedenti con a e b con questi valori!
Questo è quanto per il primo punto. Ditemi che ho fatto correttamente vi prego
2) Per a=1, b=-1 tracciare il grafico della funzione $ g(x)=int_(-2)^(x) f(t) dx $ con f(t) la funzione f(x) di prima con a=1 e b=-1, precisando dominio, continuità, derivabilità, monotonia e convessità.
Qua credo di aver pasticciato un po', l'insieme di definizione dovrebbe essere lo stesso di f(x), derivabile perché sistema di funzioni derivabili e continua perché sistema di funzioni continue nei loro domini.
Per disegnarla quindi ho calcolato la derivata prima di g(x) che è la stessa f(x) e l'ho posta maggiore e uguale di zero per vedere dove cresce e dove decresce ed ho ottenuto che cresce per $ x>=1 $ anche se in realtà l' $ arccos (x) $ è crescente per $ -1<=x<=1 $ che a sistema mi da solo x=1
Per la convessità ho derivato nuovamente e ho trovato per quali intervalli la funzione è concava o convessa.
Infine ho tracciato un grafico con un andamento strano per quanto mi pare e infatti chiedo a voi lumi
3) Sempre con a=1, b=-1 calcolare, se esiste, $ int_(-2)^(2) f(t) dt $:
Ultimo pezzo ho scomposto l'integrale nei vari intervalli e li ho risolti singolarmente dopo aver detto che esiste la soluzione sempre perché insieme di funzioni continue negli intervalli considerati.
$ int_(-2)^(2) f(t) dt=int_(-2)^(-1) (t-1) dt + int_(-1)^(1) arccos(t) dt + int_(1)^(2) (t-1) dt $
che se ho fatto bene i conti dovrebbe venire $ int_(-2)^(2) f(t) dt=-2+pi $ e anche qui spero mi diciate che non ho toppato
Mi scuso se mi sono dilungato ma pensavo fosse meno dispersivo aprire più discussioni per ogni punto dell'esercizio che mi è stato dato.
Aspettando preoccupato un vostro riscontro vi ringrazio davvero di cuore
Buona serata, Matteo
Risposte
Scusate se uppo qualcuno di voi può dirmi se ho fatto un disastro o meno? Grazie mille ancora!
Buona Pasqua, Matteo
qualcuno di voi può dirmi se ho fatto un disastro o meno? Grazie mille ancora!Buona Pasqua, Matteo
Scusate ancora se insisto, so che non è obbligatorio rispondere alle eventuali richieste, ma avendo l'orale a breve e non sapendo a chi chiedere mi servirebbe un vostro gentile aiuto per capire dove ho sbagliato
Grazie mille e scusate ancora!
Matteo
Grazie mille e scusate ancora!
Matteo
Per quanto riguarda il primo esercizio, una condizione sufficiente affinché esista la primitiva di $f$ è che $f$ sia continua (teorema fondamentale del calcolo integrale). Quindi ti basta imporre che la retta $y=ax+b$ passi per i punti $(-1,\pi)$ e $(1,0)$. Le primitive saranno poi l'integrale indefinito della funzione ottenuta.
Nel terzo punto il procedimento è giusto. I calcoli non li ho controllati.
Nel secondo hai sbagliato parecchio. Ponendo $a=1$ e $b=-1$, ottieni che $f$ è una funzione discontinua, ma tuttavia Riemann integrabile su ogni intervallo limitato di $\mathbb{R}$. Dunque la funzione $g(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ ma non è derivabile nei punti in cui è discontinua la $f$ (anche qui, teorema fondamentale del calcolo integrale).
Nel terzo punto il procedimento è giusto. I calcoli non li ho controllati.
Nel secondo hai sbagliato parecchio. Ponendo $a=1$ e $b=-1$, ottieni che $f$ è una funzione discontinua, ma tuttavia Riemann integrabile su ogni intervallo limitato di $\mathbb{R}$. Dunque la funzione $g(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ ma non è derivabile nei punti in cui è discontinua la $f$ (anche qui, teorema fondamentale del calcolo integrale).
"billyballo2123":
Per quanto riguarda il primo esercizio, una condizione sufficiente affinché esista la primitiva di $f$ è che $f$ sia continua (teorema fondamentale del calcolo integrale). Quindi ti basta imporre che la retta $y=ax+b$ passi per i punti $(-1,\pi)$ e $(1,0)$. Le primitive saranno poi l'integrale indefinito della funzione ottenuta.
Nel terzo punto il procedimento è giusto. I calcoli non li ho controllati.
Nel secondo hai sbagliato parecchio. Ponendo $a=1$ e $b=-1$, ottieni che $f$ è una funzione discontinua, ma tuttavia Riemann integrabile su ogni intervallo limitato di $\mathbb{R}$. Dunque la funzione $g(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ ma non è derivabile nei punti in cui è discontinua la $f$ (anche qui, teorema fondamentale del calcolo integrale).
Grazie per le delucidazioni
Per quanto riguarda il primo punto potevo fare o come hai giustamente detto tu oppure uguagliare i limiti negli intorni -1 da destra e da sinistra e in 1 da destra e da sinistra, mettendo a sistema otterrei la stessa funzione ottenuta imponendo il passaggio per $(-1,\pi)$ e $(1,0)$.Il terzo punto, se si può scomporre in quel modo l'integrale, i conti sono giusti.
Per il secondo punto direi che ho un po' di problemi nello studio di una funzione integrale, come avrei dovuto operare per riuscire ad ottenere il grafico studiando come richiesto dominio, continuità, derivabilità, monotonia e convessità?
Grazie ancora!
L'integrale
\[
\int_{-2}^x f(t) \,dt
\]
esiste per ogni $x\in\mathbb{R}$, dunque il dominio di $g$ è $\mathbb{R}$. Inoltre il teorema fondamentale del calcolo integrale ti garantisce che $g$ è una funzione continua su tutto il suo dominio e derivabile nei punti in cui è continua la $f$. Per la monotonia di $g$ puoi derivare, ma restano da controllare a mano i due punti in cui non è derivabile. Idem per la convessità.
\[
\int_{-2}^x f(t) \,dt
\]
esiste per ogni $x\in\mathbb{R}$, dunque il dominio di $g$ è $\mathbb{R}$. Inoltre il teorema fondamentale del calcolo integrale ti garantisce che $g$ è una funzione continua su tutto il suo dominio e derivabile nei punti in cui è continua la $f$. Per la monotonia di $g$ puoi derivare, ma restano da controllare a mano i due punti in cui non è derivabile. Idem per la convessità.
Vorrei fare una piccola osservazione sul punto 1. L'esercizio chiede di trovare tutti i valori di a e b per cui la funzione ammetta primitiva. È chiaro che se li scegliamo in modo che la funzione sia continua essa ammette primitiva, tuttavia siamo sicuri che non ce ne siano altri? Infatti anche funzioni discontinue possono ammettere primitiva.
In effetti possiamo star sicuri, poiché quando una funzione ammette primitiva non può avere discontinuità di tipo "salto" (si può dimostrare a partire dal teorema di de l'Hôpital) e proprio questo tipo di discontinuità si presenterebbero scegliendo a e b in qualche altro modo.
In effetti possiamo star sicuri, poiché quando una funzione ammette primitiva non può avere discontinuità di tipo "salto" (si può dimostrare a partire dal teorema di de l'Hôpital) e proprio questo tipo di discontinuità si presenterebbero scegliendo a e b in qualche altro modo.
"_fabricius_":
Vorrei fare una piccola osservazione sul punto 1. L'esercizio chiede di trovare tutti i valori di a e b per cui la funzione ammetta primitiva. È chiaro che se li scegliamo in modo che la funzione sia continua essa ammette primitiva, tuttavia siamo sicuri che non ce ne siano altri? Infatti anche funzioni discontinue possono ammettere primitiva.
Esatto! Infatti per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la continuità di una funzione è una condizione sufficiente (ma non necessaria) per garantire l'esistenza di una sua primitiva.
P.S. Un piccolo consiglio per Matte_487: quando poni una domanda nel forum, non farne tre insieme. Io di solito quando vedo così tanta roba da leggere lascio perdere (anche se non è stato questo il caso)... penso sia stata questa la ragione per cui tu abbia dovuto uppare e attendere così tanto. Ciao ciao
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