Calcolo di massimo e minimo vincolato in 2 variabili
Ciao ragazzi eccomi con i massimi e i minimi 
Ho una funzione in più variabili a valori scalari $ f(x,y)=(x-2y)^2$ condizionati al vincolo $g(x,y)=x^2/4+y^2/3=1$
Ho deciso di risolvere questo problema parametrizzando il vincolo nel seguente modo : $r(t)=(2cost,sqrt(3)sint)$
La funzione composta diventa quindi $h(t)=(2cost-2sqrt(3)sint)^2=0$ la cui derivata prima si annulla per $t=pi/6,pi/3,7pi/6,4pi/3$. Andando a sostituire alla parametrizzazione questi dovrebbero essere i punti critici, cioè candidati punti di max, minimo o sella. Potrei vedere la loro natura studiando il segno della derivata prima, ma sono convinto che vi sia una via migliore e più veloce attraverso la definizione di derivata direzionale, gradiente,ecc.. Non riesco a trovarla perchè in realtà non ho ancora capito fino in fondo il concetto di derivata direzionale. Cioè in funzioni in una variabile si faceva normalmente lo studio della derivata prima. Se volessi utilizzare questo metodo anche per funzioni in più variabili dovrei studiare il segno della derivata direzionale? Cioè i punti critici, e quindi i punti di max e min annullano il gradiente, quindi in quei punti la funzione non cresce, rimane costante, come intuibile. Ma come potrei fare uno studio del segno del gradiente? Cioè in questo caso il gradiente dipende sia dal punto in cui si valuta sia dalla direzione in cui ci si avvicina al punto. Potrei farlo sudiando il segno le derivate parziali?
Grazie per le risposte
Ho una funzione in più variabili a valori scalari $ f(x,y)=(x-2y)^2$ condizionati al vincolo $g(x,y)=x^2/4+y^2/3=1$
Ho deciso di risolvere questo problema parametrizzando il vincolo nel seguente modo : $r(t)=(2cost,sqrt(3)sint)$
La funzione composta diventa quindi $h(t)=(2cost-2sqrt(3)sint)^2=0$ la cui derivata prima si annulla per $t=pi/6,pi/3,7pi/6,4pi/3$. Andando a sostituire alla parametrizzazione questi dovrebbero essere i punti critici, cioè candidati punti di max, minimo o sella. Potrei vedere la loro natura studiando il segno della derivata prima, ma sono convinto che vi sia una via migliore e più veloce attraverso la definizione di derivata direzionale, gradiente,ecc.. Non riesco a trovarla perchè in realtà non ho ancora capito fino in fondo il concetto di derivata direzionale. Cioè in funzioni in una variabile si faceva normalmente lo studio della derivata prima. Se volessi utilizzare questo metodo anche per funzioni in più variabili dovrei studiare il segno della derivata direzionale? Cioè i punti critici, e quindi i punti di max e min annullano il gradiente, quindi in quei punti la funzione non cresce, rimane costante, come intuibile. Ma come potrei fare uno studio del segno del gradiente? Cioè in questo caso il gradiente dipende sia dal punto in cui si valuta sia dalla direzione in cui ci si avvicina al punto. Potrei farlo sudiando il segno le derivate parziali?
Grazie per le risposte
Risposte
Va bene TeM grazie. Ma se i punti critici avessero avuto immagini diverse che metodo avrei potuto utilizzare per studiare la loro natura?
Poi ultima domanda.. Come mai se utilizzo il metodo di lagrange trovo soltanto i punti di massimo e non quelli di minimo?
$ { ( 2x-4y=lambdax/2 ),( -4x+8y=2/3lambday ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $ cioè $ { ( -4x+8y=-lambdax ),( -4x+8y=2/3lambday ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $
$ { ( x=-2/3y ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $
continuando trovo solo i punti di massimo
Sbaglio qualcosa nei calcoli?
$ { ( 2x-4y=lambdax/2 ),( -4x+8y=2/3lambday ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $ cioè $ { ( -4x+8y=-lambdax ),( -4x+8y=2/3lambday ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $
$ { ( x=-2/3y ),( x^2/4+y^2/3=1 ):} $
continuando trovo solo i punti di massimo
Sbaglio qualcosa nei calcoli?
chiarissimo grazie
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