Calcolo di limito x->0

[rikideveloper]

Salve devo calcolare il seguente limite

$ x->0lim cos(x)^(1/(xsinx) $


per risolverlo ho fatto in questo modo: $ x->0 lim e^ln(cos(x)^(1/(xsinx))) $

poi ho derivato ottenendo $ x->0 lim e^ln(cos(x)^(1/(xsinx)))*(1/cosx*sin(x)/cos(x)) $

poi non so più come procedere potreste aiutarmi!

[billyballo2123]

Per $x\to 0$ si ha che
\[
e^{\frac{1}{x\sin x} \ln(\cos x)}\sim e^{\frac{1}{x\sin x} (\cos x-1)}\sim e^{\frac{1}{x^2}\big(-\frac{x^2}{2}\big)}=e^{-1/2}.
\]

[Berationalgetreal]

Ti consiglio di fare così più che trasformare il limite con l'esponenziale:

\[ \lim_{x \to 0} {\left ( \left [ 1 + \left (\cos (x) -1 \right) \right ]^{ \left (\frac {1}{\cos (x) -1} \right )} \right )^{ \left ( \frac {\cos (x) -1}{x \cdot \sin (x)} \right )}} \]

In questa forma la risoluzione è immediata.

[Pablitos23]

Scusami ma non ho capito la trasformazione asintotica tra:

$ln(cos(x)) -> (cosx-1)$

[Pablitos23]

Si scusate ci sono:

$ln(cosx) ~ ln(1-x^2/2) ~ -x^2/2$

[Alegomind]

Ciao, quando hai un limite del tipo
\[\lim_{x \to b}f(x)^{g(x)}\]
Che da la forma indeterminata $1^(oo)$ puoi usare la seguente "formula":

\[e^{\lim_{x \to b}(f(x)-1)g(x)}\]

Poi dovresti poter essere in grado di proseguire applicando limiti notevoli, teorema di de l'Hopital o quanto preferisci

[Pablitos23]

o utilizzare il confronto asintotico conoscendo gli sviluppi di Taylor.