Calcolo di Limiti di Successioni

[Lorenzy]

Buonasera,
ho difficoltà nel risolvere il seguente limite:

$lim_(n->infty) sqrt ((n+1)(n+2)) - n$

Ho provato a risolverlo in questo modo:

$lim_(n->infty) sqrt ((n+1)(n+2)) - n = lim_(n->infty) ((sqrt ((n+1)(n+2)) - n) (sqrt ((n+1)(n+2)) + n))/(sqrt ((n+1)(n+2)) + n) = lim_(n->infty) (3n + 2)/ (sqrt ((n+1)(n+2)) + n) = ... $

Dopodiché non riesco a procedere!
Grazie in anticipo!!

[Anacleto13]

Ci sei quasi..
A denominatore tieni l'esponente più alto e diventa

$\lim_{n \to \infty}(3n+2)/(sqrt(n^2)+n$

Radice di $n^2$ $=$ $n$

$\lim_{n \to \infty}(3n)/(2n)$

Se i precedenti passi sono corretti, alla fine risulta $l=3/2$

[Lorenzy]

"Anacleto13":Ci sei quasi..
A denominatore tieni l'esponente più alto e diventa

$\lim_{n \to \infty}(3n+2)/(sqrt(n^2)+n$

Radice di $n^2$ $=$ $n$

$\lim_{n \to \infty}(3n)/(2n)$

Se i precedenti passi sono corretti, alla fine risulta $l=3/2$

Effettivamente il risultato è proprio $3/2$,
ma potresti spiegarmi il passaggio in cui poni "l'esponente più alto" al denominatore?
Grazie!!

[Anacleto13]

Se svolgi il prodotto avrai $n^2+3n+2$ raccogliendo $n^2$

$n^2(1+(3n)/(n^2)+2/(n^2))$ puoi subito notare che gli ultimi 2 fattori sono infinitesimi (valgono 0)..
Quindi quando il limite tente ad infinito, in genere, si considerano solo gli esponenti che tendono ad infinito più velocemente senza fare il raccoglimento.
Spero sia chiaro, se hai altre domande chiedi pure

[Lorenzy]

"Anacleto13":Se svolgi il prodotto avrai $n^2+3n+2$ raccogliendo $n^2$

$n^2(1+(3n)/(n^2)+2/(n^2))$ puoi subito notare che gli ultimi 2 fattori sono infinitesimi (valgono 0)..
Quindi quando il limite tente ad infinito, in genere, si considerano solo gli esponenti che tendono ad infinito più velocemente senza fare il raccoglimento.
Spero sia chiaro, se hai altre domande chiedi pure

Ottimo, Anacleto13!
Inutile dirti che ti tormenterò ancora per molto

Ho risolto i seguenti esercizi:

$ 1. lim_(n->infty) root(n+1) (3) = lim_(n->infty) 3^(1/(n+1)) = 1$
$ 2. lim_(n->infty) (n-4)/(3n+1) = 1/3$
$ 3. lim_(n->infty) sqrt(4+1/n) = 2$
$ 4. lim_(n->infty) (n^2+2n)/(n+1) = infty$
$ 5. lim_(n->infty) 5-n^2 = -infty$

Potresti verificare la correttezza dei risultati? Grazie ancora!

[Anacleto13]

Si sono giusti