Calcolo di limiti

[Secchione95]

ciao a tutti!
Mi scuso per il disturbo ma sono in difficoltà con questi due limiti...
Eccoli:

$ lim_ (x ->0) [(1-cos(2x))sin(x^2)]/[ln(1-x^4 )] $

$ \lim _ {x \to \infty } [ \frac [2^(x) +1][2^(x)+x]]^[2^(x)/x] $

Nel primo limite vorrei ricondurre il denominatore al limite notevole ma c'è il meno e non posso..
Mentre l'ho scritto così :

$ e ^ { [2^(x)/x] ln[(2^(x) + 1)/(2^(x)+x)] } $
Ma adesso sono fermo... Ho cercato anche tra gli asintotici... Ma mi rimane comunque una forma di indecisione..

[Secchione95]

Grazie lo stesso ...

[Zero87]

Premesso che hai uppato presto, ma non sarò io a farti la predica per questo , mi sembrano tutt'altro che facili questi limiti e può darsi che per questo nessuno ha risposto.

Ieri sera avevo un hint per il secondo (tralascio l'esponente)
$\frac{2^x+1}{2^x+x}= \frac{2^x+x-x+1}{2^x+x}=1+\frac{-x+1}{x(2^x/x+1)}=1+\frac{-1+1/x}{2^x/x+1}~1-\frac{1}{2^x/x+1}$,
arrivando a una cosa interessante rimettendo l'esponente fuori (in fondo $2^x/x -> +\infty$ se $x->+\infty$).

Non ero sicurissimo del trascurare quel $1/x$ al numeratore nell'ultimo passaggio e per questo non avevo postato. Ancora non lo sono, ma oggi sono più convinto!

[ostrogoto1]

Vale il limite notevole: $ ln(1+f(x))/f(x)rarr1 $ per $ f(x)rarr0 $ da cui
$ ln(1-x^4)/-x^4rarr1 $ per $ xrarr0 $
o se preferisci lo sviluppo in serie di Taylor arrestato arbitrariamente al secondo ordine:
$ log(1-x^4)=-x^4-x^8/2+o(x^8) $

[ostrogoto1]

Per il secondo limite in alternativa si puo' procedere 'manu militari' dal punto proposto nel primo messaggio da Mimmo95 usando lo sviluppo $ ln(1+y)~y $ per $ yrarr0 $:

$ exp[2^x/xln((2^x+1)/(2^x+x))]=exp[2^x/xln((1+1/2^x)/(1+x/2^x))]=exp[2^x/x(ln(1+1/2^x)-ln(1+x/2^x))]~exp[2^x/x(1/2^x-x/2^x)]= $

$ =exp[1/x(1-x)] $ per $ xrarr+oo $
completa tu l'ultimo passaggio! [volendo si potrebbe osservare che $ 1/2^x $ e' trascurabile rispetto ad $ x/2^x $ per $ xrarr+oo $ quindi concludere un passagio prima]

[francicko]

Per quanto riguarda il limite $lim_(x->0)[(1-cos(2x))(sinx^2)]/[ln(1-x^4)]$, sostituendo le funzioni asintoticamente equivalenti,possiamo scrivere in modo equivalente, $lim_(x->0)[(1-(1-2x^2))x^2]/[ln(1-x^4)]=lim_(x->0)2x^4/ln(1-x^4)=lim_(x->0)2/[(ln(1-x^4))/x^4$, ed essendo che il limite notevole è $lim_(x->0)[ln(1-x^4)]/x^4=-1$ si ha che il valore del limite risulta $2/-1=-2$.

Per quanto riguarda il limite $lim_(x->0)((1+2^x)/(2^x+x))^(2^x/x)$ si può benissimo usare facendo le opportune

trasformazioni, il limite notevole $lim_(x->0)((1+2^x)/(1+2^x)+(1-x)/(2^x+x))^((1+2^x)/(1-x)$ $=e$, alla fine si otterrà come valore del limite $1/e$.