Calcolo di limite con Taylor

[galles90]

Buonasera,

Calcolare il seguente limite :

$lim_ {x to 0} ((1+sen(x)+sen^2 (x))^(1/x)-(1+senx)^(1/x))/x$.

Il risultato del precedente limite è $e$

Sto provando cosi:
posto $1/x=y to x=1/y$ quindi quando $x to 0$ allora $y to infty$ , per cui il limite precedente diventa :

$**$$lim_ {y to infty} ((1+sen(1/y)+sen^2 (1/y))^y-(1+sen(1/y))^y)/(1/y)$.

in particolare da :
$1+sen(1/y)+sen^2 (1/y)=1+sen(1/y)+(1-cos^2 (1/y))=2+sen(1/y)-cos^2 (1/y)$

Sviluppando lo sviluppo di Taylor arrestato al primo ordine, all'ultimo membro dell'ultima relazione, ottengo :

$2+sen(1/y)-cos^2 (1/y)=2+1/y-(1)=(1+1/y)$
invece per $(1+sen(1/y))^y)=(1+1/y)$
per cui il limite $**$ diventa

$lim_{y to infty} ((1+1/y)^(1/y)-(1+1/y)^(1/y))/(1/y)=0$

Dove ho sbagliato ?


Grazie

[gugo82]

Per comodità pongo $s:=sin x$.
Hai:
\[
\lim_ {x \to 0} \frac{(1+s+s^2)^{1/x} - (1+s)^{1/x}}{x} = \lim_{x\to 0} (1+s)^{1/x}\ \frac{e^{1/x\ \log(1+ s^2/(1+s))} - 1}{x} = \lim_{x\to 0} [(1+s)^{1/s}]^{s/x}\ \frac{s^2}{x^2} = e
\]
usando solo algebra e limiti notevoli (scritti in maniera rozzissima ).

[galles90]

Grazie