Calcolo di limite

[msc85]

Ciao a tutti!
Volevo chiedervi un parere per questo limite.
$ lim_(x ->oo ) ((1+(2*x+1)/(x^3+x^2+1)) ^(20*x^2-2010)) $
L'ho risolto passando al logaritmo, però anzichè utilizzare il logaritmo naturale e condurmi alla forma $ e^{ln } $ di quel limite sono passata a $ 10^{log } $ etc così poi quando calcolo il $ lim_(x -> oo )(log(1+(2*x+1)/(x^3+x^2+1))) $ mi riconduco al limite notevole
$ lim_(x -> 0)(log(1+x)/x) $ che fa 1.
Spero di essermi spiegata e sopratutto di aver fatto correttamente. Il mio dubbio è appunto se posso fare $ 10^{log } $ anzichè $ e^{ln } $
Grazie

[yellow2]

Guarda che all'università (almeno di solito) quando si scrive $log$ si intende il logaritmo in base $e$, e quel limite notevole è valido proprio per il logaritmo naturale.

[msc85]

in realtà io ricordo che log sia il logaritmo in base 10 e ln sia il logaritmo in base e..no?

[yellow2]

Beh è tutta questione di convenzioni, sei d'accordo? Almeno da me ai corsi di analisi $log$ è sempre il logaritmo naturale, perché sostanzialmente è l'unico che viene usato. In ogni caso fatto sta che quel limite notevole, comunque tu lo scriva, è valido con il logaritmo naturale!
Anche da me al liceo indicavamo con $log$ il logaritmo in base 10. Così come chiamavamo "codominio" l'immagine di una funzione e non tutto l'insieme di arrivo. Ma poi basta abituarsi.

[msc85]

mmm..si si sono convenzioni d'accordo.. è perchè io il log all'università l'ho sempre usato con base 10 e mi ritrovo quel limite notevole proprio con log, quindi mi è venuto il dubbio, non potrei certo elevare e con log se fosse inteso come dico io.. se tu mi dai conferma che quel limite notevole è valido per il logaritmo naturale allora cambio il risultato e via..

[yellow2]

Ah pensavo fossero rimembranze da liceo. Io all'università ancora non ho mai visto un logaritmo che non fosse in base $e$ invece, tranne in una dispensa in cui venivano definiti esponenziali e logaritmi in maniera alternativa. Sei sicura che non fossero tutti logaritmi naturali che tu consideravi in base 10?
Comunque vai tranquilla, ti confermo che è valido per il logaritmo naturale. Se proprio non riesci a fidarti guarda qui, dove viene chiamato $ln$ (e c'è anche la variante per le basi diverse da $e$).

[msc85]

ok, perfetto, ho cercato ora in rete e l'ho trovato il limite notevole
esattamente con il logaritmo naturale, quindi probabilmente mi sono riferita a degli appunti errati!
Benissimo..grazie mille! Problema risolto

[itpareid]

in generale $lim_(x \to 0) ((log_a (1+x))/x)=log_a e=1/ln a$

[msc85]

esatto è proprio la pagina che ho trovato pure io
in pratica ero da 6 anni che non rivedevo le cose di analisi 1 quindi molte cose non le ricordo e ho chiesto degli appunti ad una ragazza per rivedere cose vecchie quindi mi sto rifacendo a quelle, ma evidentemente il professore si riferiva a quello e io ricordavo male
comunque non importa, tanto mi cambia solo il risultato della potenza
grazie ancora

[itpareid]

non ho capito, dal tuo limite originale, come sei passata da $x \to \infty$ a $x \to 0$

[msc85]

perchè la quantità $ (2*x+1)/(x^3+x^2+1) $ tende a 0 per x che tende all'infinito quindi chiamandola con un altro nome, per esempio t avrò che per x che tende all'infinito t tende a 0. quindi sono nel caso $ lim_(t -> 0)ln(1+t) $ e quindi poi mi sono aggiustata moltiplicando e dividendo per t e mi sono ricondotta al limite notevole

[Angelo210]

Se il risultato è $e^40$, hai calcolato correttamente il limite.

[msc85]

Oh che sollievo si si, mi ha dato proprio $ e^{40} $
grazie a tutti voi per l'aiuto
a presto!