Calcolo di limite
Esercizio del compito di Analisi 1 che purtroppo non sono riuscito a superare...
Potete darmi qualche suggerimento circa la risoluzione di questo limite:
$ lim_(x -> 0) (x - sin x) / (tan x - sin x) $
Come penso sia scontato, è un indeterminazione del tipo $ 0 / 0 $.
Ho provato a sbloccarla mettendo in evidenza il sin x
$ lim_(x -> 0) (sin x (x / sin x - 1)) / (sin x (tan x / sin x - 1) $
(non so perché c'è quella freccia alla fine)
ma anche semplificando il sin x fuori dalla parentesi e con la tan x, rimane l'indeterminazione...
Come posso fare? E' possibile che si debbano usare le regole degli infinitesimi?
Grazie
Potete darmi qualche suggerimento circa la risoluzione di questo limite:
$ lim_(x -> 0) (x - sin x) / (tan x - sin x) $
Come penso sia scontato, è un indeterminazione del tipo $ 0 / 0 $.
Ho provato a sbloccarla mettendo in evidenza il sin x
$ lim_(x -> 0) (sin x (x / sin x - 1)) / (sin x (tan x / sin x - 1) $
(non so perché c'è quella freccia alla fine)
ma anche semplificando il sin x fuori dalla parentesi e con la tan x, rimane l'indeterminazione...
Come posso fare? E' possibile che si debbano usare le regole degli infinitesimi?
Grazie
Risposte
bho
Ma così non rimane comunque l'indeterminazione $ 0 / 0 $?
hai provato ad applicare l'hopital??
Utilizza gli sviluppi in serie di Taylor, sia al numeratore che al denominatore.
Ok allora lo ripasso e vi posto la mia possibile soluzione, grazie
Allora, ho ripassato Taylor però ho dei dubbi:
1) Quando scrivo ad esempio lo sviluppo di $sin x$ e $tan x$ devo usare xo = 0 vero? essendo quello il valore a cui tende il limite...
2) Ho visto che nello sviluppo del $sin x$ il libro si ferma alla derivata terza e scrive $ sin x = x - 1/6x^3 + o(x^4) $, mentre io ero andato avanti, su questo ho 2 domande:
- Perché si ferma proprio alla derivata terza?
- Perché viene $o(x^4)$ se la formula del resto di Peano è $o((x - xo)^n)$ ?
3) Mi aiutate sullo sviluppo di $tan x$? non riesco a fare la derivata di $1/(cos^2 x)$ e poi non saprei dove fermarmi...
Grazie mille come sempre
1) Quando scrivo ad esempio lo sviluppo di $sin x$ e $tan x$ devo usare xo = 0 vero? essendo quello il valore a cui tende il limite...
2) Ho visto che nello sviluppo del $sin x$ il libro si ferma alla derivata terza e scrive $ sin x = x - 1/6x^3 + o(x^4) $, mentre io ero andato avanti, su questo ho 2 domande:
- Perché si ferma proprio alla derivata terza?
- Perché viene $o(x^4)$ se la formula del resto di Peano è $o((x - xo)^n)$ ?
3) Mi aiutate sullo sviluppo di $tan x$? non riesco a fare la derivata di $1/(cos^2 x)$ e poi non saprei dove fermarmi...
Grazie mille come sempre
1) Il punto dove vai a sviluppare dipende da dove stai calcolando il limite.
2)L'ordine dello sviluppo dipende da ciò che devi calcolare. Come faresti a determinare questo limite [tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x+\frac{1}{6}x^3}{x^5}[/tex] se ti fermassi al terzo ordine? Il resto di Peano è [tex]o((x-x_0)^n)[/tex] dove [tex]x_0[/tex] è il punto dove stai sviluppando e [tex]n[/tex] è l'ordine dell'ultimo termine sviluppato. Dunque....
3)[tex]D\left[\frac{1}{f(x)}\right]=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}[/tex]
2)L'ordine dello sviluppo dipende da ciò che devi calcolare. Come faresti a determinare questo limite [tex]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x+\frac{1}{6}x^3}{x^5}[/tex] se ti fermassi al terzo ordine? Il resto di Peano è [tex]o((x-x_0)^n)[/tex] dove [tex]x_0[/tex] è il punto dove stai sviluppando e [tex]n[/tex] è l'ordine dell'ultimo termine sviluppato. Dunque....
3)[tex]D\left[\frac{1}{f(x)}\right]=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}[/tex]
Allora sulla 1) siamo d'accordo...
Punto 2) Lomax presuppongo che il limite che hai scritto tu sia solo un esempio, e questo l'ho capito, ma nel mio caso non riesco a capire dove devo fermarmi, ma probabilmente dipende dal fatto che non ho ancora sviluppato la $tan x$...giusto?
Riguardo il resto di Peano, sono d'accordo con te, e quindi arrivando al terzo ordine con $sin x$ avrei $o((x - 0)^3)$, però sul libro la potenza della x moltiplicata all' "o piccolo" è 4 e non 3... E' possibile che abbia dato per scontato che la derivata quarta in xo sia zero e quindi abbia messo la potenza quarta? Altrimenti non so come spiegarmelo...
Sulla dervita mi scuso ma ho dei problemi riguardo la trigonometria: sapevo della formula per la derivata del quoziente, ciò che non riesco a fare è proprio la derivata di $cos^2 x$ e poi sotto sarebbe $f^2(x) = (cos^2 x)^2 = cos^4 x$ ??? scusa l'ignoranza ma quando trovo potenza di grado superiore con seni e coseni mi blocco...
Grazie
Punto 2) Lomax presuppongo che il limite che hai scritto tu sia solo un esempio, e questo l'ho capito, ma nel mio caso non riesco a capire dove devo fermarmi, ma probabilmente dipende dal fatto che non ho ancora sviluppato la $tan x$...giusto?
Riguardo il resto di Peano, sono d'accordo con te, e quindi arrivando al terzo ordine con $sin x$ avrei $o((x - 0)^3)$, però sul libro la potenza della x moltiplicata all' "o piccolo" è 4 e non 3... E' possibile che abbia dato per scontato che la derivata quarta in xo sia zero e quindi abbia messo la potenza quarta? Altrimenti non so come spiegarmelo...
Sulla dervita mi scuso ma ho dei problemi riguardo la trigonometria: sapevo della formula per la derivata del quoziente, ciò che non riesco a fare è proprio la derivata di $cos^2 x$ e poi sotto sarebbe $f^2(x) = (cos^2 x)^2 = cos^4 x$ ??? scusa l'ignoranza ma quando trovo potenza di grado superiore con seni e coseni mi blocco...
Grazie
Per il punto 2)ti ripeto che l'ordine dove dovresti fermarti dipende da caso a caso. Per il secondo punto, è esattamente come dici. La funzione [tex]o(x^n)[/tex] indica un polinomio di grado strettamente superiore ad [tex]n[/tex]. Ora, il tuo prof scrive [tex]o(x^4)[/tex] e non [tex]o(x^3)[/tex] in quanto, nello sviluppo del seno, sa già che il termine di quarto grado è nullo, ovvero che il prossimo termine sarà di quinto grado. Questo, ovviamente, non è vero in generale.
La derivata di [tex]\cos^2x[/tex] è [tex]-2\cos x \sin x[/tex], ovvero prima la derivata della potenza e poi del coseno sfruttando la regola [tex]D[g^n(x)]=ng^{n-1}(x)g'(x)[/tex]. Adesso, non so come tu sia abituato a fare le derivate, comunque questa era facile e quindi ti conviene ripassarle.
La derivata di [tex]\cos^2x[/tex] è [tex]-2\cos x \sin x[/tex], ovvero prima la derivata della potenza e poi del coseno sfruttando la regola [tex]D[g^n(x)]=ng^{n-1}(x)g'(x)[/tex]. Adesso, non so come tu sia abituato a fare le derivate, comunque questa era facile e quindi ti conviene ripassarle.
Perfetto, l'unico mio dubbio era se si potesse fare la derivata della potenza del coseno come una generica derivata di potenza di x, mi ritrovo nel calcolo ora che me l'hai spiegata...
L'altro dubbio era $(cos^2 x)^2 = cos^4 x$???
lo sviluppo di $tan x$ quindi sarebbe:
$f(x) = tan x$
$f^1(x) = 1/(cos^2 X)$
$f^2(x) = (2cos x sinx)/(cos^4 x)$
...
qundi $tan x = x + x^2 + ...$
E' giusto fin qui? se si ora ciò che non saprei è a che grado della derivata mi serve arrivare al fine di calcolarmi il limite scritto nel primo post e come procedere...
Se mi dai qualche suggerimento ovviamente lo faccio io e mi confermi se è giusto...
Grazie infinite, purtroppo la formula di Taylor è stata trattata in soli 2 giorni dalla mia prof di analisi, perché era giunta a fine corso e trovo un po ostico capirlo completamente dal libro...
L'altro dubbio era $(cos^2 x)^2 = cos^4 x$???
lo sviluppo di $tan x$ quindi sarebbe:
$f(x) = tan x$
$f^1(x) = 1/(cos^2 X)$
$f^2(x) = (2cos x sinx)/(cos^4 x)$
...
qundi $tan x = x + x^2 + ...$
E' giusto fin qui? se si ora ciò che non saprei è a che grado della derivata mi serve arrivare al fine di calcolarmi il limite scritto nel primo post e come procedere...
Se mi dai qualche suggerimento ovviamente lo faccio io e mi confermi se è giusto...
Grazie infinite, purtroppo la formula di Taylor è stata trattata in soli 2 giorni dalla mia prof di analisi, perché era giunta a fine corso e trovo un po ostico capirlo completamente dal libro...
Lo sviluppo non è esatto. Il coefficiente di secondo grado è nullo per [tex]x=0[/tex] così come deve essere dal momento che la funzione deve comunque continuare a rimanere dispari 
.
Hai dubbi sulla derivata di [tex]\cos^4x[/tex]? Procedi come faccio precedentemente.
Se non sai fin dove fermarti e non riesci a vederlo ad occhio, come è giusto che sia dato che non è sempre immediato capirlo, sviluppa fino ad un certo ordine, diciamo il quinto, sostituisci nel limite e vedi che cosa succede.
.Hai dubbi sulla derivata di [tex]\cos^4x[/tex]? Procedi come faccio precedentemente.
Se non sai fin dove fermarti e non riesci a vederlo ad occhio, come è giusto che sia dato che non è sempre immediato capirlo, sviluppa fino ad un certo ordine, diciamo il quinto, sostituisci nel limite e vedi che cosa succede.
Si hai ragione, ho sbagliato, viene zero...
Il mio dubbio non era sulla derivata ma proprio se (cos^2 x)^2 fosse cos^4 x...Cmq suppongo di si... la derivata l'ho capita e ti ringrazio per avermi delucidato...
Ora provo come hai detto tu fino al quinto ordine, se ci riesco
, sostituisco vedo cosa mi viene e posto i calcoli...
Grazie ancora
Il mio dubbio non era sulla derivata ma proprio se (cos^2 x)^2 fosse cos^4 x...Cmq suppongo di si... la derivata l'ho capita e ti ringrazio per avermi delucidato...
Ora provo come hai detto tu fino al quinto ordine, se ci riesco
, sostituisco vedo cosa mi viene e posto i calcoli...Grazie ancora
Lomax ma mi escono dei calcoli enormi per lo sviluppo della $tan x$ e poi sono quasi tutte 0 perché $sin x$ con $xo = 0$ si annulla, è possibile? almeno le derivate dispari non dovrebbero avere un valore diverso da zero?...
invece lo sviluppo del $sin x$, al 5° ordine, è:
$sinx = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) + o(x^6)$ questo mi sembra giusto...
Sta $tan x$ mi sta facendo impazzire
invece lo sviluppo del $sin x$, al 5° ordine, è:
$sinx = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) + o(x^6)$ questo mi sembra giusto...
Sta $tan x$ mi sta facendo impazzire
Il seno è ok.
I coefficienti pari sono sicuramente nulli. Volevo farti arrivare al quinto grado per esercizio ma mi rendo conto che è una rottura di scatole. Ai fini del limite puoi fermarti al terzo.
Ti ricordo che comunque questi sviluppi sono noti (di solito non è che ti metti a rifare sempre tutti i conti) e alcuni puoi trovarli qui http://www.giacobbe85.altervista.org/do ... Taylor.pdf
I coefficienti pari sono sicuramente nulli. Volevo farti arrivare al quinto grado per esercizio ma mi rendo conto che è una rottura di scatole. Ai fini del limite puoi fermarti al terzo.
Ti ricordo che comunque questi sviluppi sono noti (di solito non è che ti metti a rifare sempre tutti i conti
) e alcuni puoi trovarli qui http://www.giacobbe85.altervista.org/do ... Taylor.pdf
mmm prima mi fai ammazzare di calcoli e poi mi dici che sono già fatti, non ci credo 
ora provo a sostituire:
$ lim_(x -> 0) (x -(x - x^3/6 + o(x^4)))/(x + x^3/3 + o(x^4) - (x - x^3/6 + o(x^4))) $
facendo le dovute semplificazioni mi sembra che venga $1/3$ ...sei d'accordo?
ora provo a sostituire:
$ lim_(x -> 0) (x -(x - x^3/6 + o(x^4)))/(x + x^3/3 + o(x^4) - (x - x^3/6 + o(x^4))) $
facendo le dovute semplificazioni mi sembra che venga $1/3$ ...sei d'accordo?
Si, ok
Grazie mille! ora ho capito, spero che ora la traccia del prossimo appello abbia di nuovo un esercizio del genere...Grazie davvero per la pazienza
Di nulla, ciao 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo