Calcolo di limite
Ciao ragazzi, sto impazzendo a cercare di risolvere questi due limiti qualcuno può darmi una mano? grazie
$lim x->0 di ((1+x)^(1/2)-(1+5x)^(1/3))/(Shx)$
e
$lim x->e di (x-e)/(1-lnx)$
Nel primo ho provato a razionalizzare la con scarso risultato, usando gli asintotici invece risolvo solo il Seno iperbolico.
Mentre per il secondo limite non saprei da dove partire. Grazie Saluti Andre
$lim x->0 di ((1+x)^(1/2)-(1+5x)^(1/3))/(Shx)$
e
$lim x->e di (x-e)/(1-lnx)$
Nel primo ho provato a razionalizzare la con scarso risultato, usando gli asintotici invece risolvo solo il Seno iperbolico.
Mentre per il secondo limite non saprei da dove partire. Grazie Saluti Andre
Risposte
Percaso il primo limite dovrebbe venire $-7/6$?
Ciao.
Per il primo limite puoi usare le note equivalenze:
$(1+x)^alpha = alpha*x +o(x), x->0$
$senh x = x +o(x), x->0$
Per il secondo puoi procedere così:
$(x-e)/(1-lnx) =(x-e)/(ln(e/x))$
Dividi numeratore e denominatore per $x$:
$=(1-(e/x))/(x*ln(e/x))$
Poni $x-e =t, t->0$:
$=t/ln(e/(e+t)) = - t/(ln((e+t)/e)) = - t/(ln(1+t/e)) =-e (t/e)/(ln(1+(t/e))$ $ ->$$ -e$
Per il primo limite puoi usare le note equivalenze:
$(1+x)^alpha = alpha*x +o(x), x->0$
$senh x = x +o(x), x->0$
Per il secondo puoi procedere così:
$(x-e)/(1-lnx) =(x-e)/(ln(e/x))$
Dividi numeratore e denominatore per $x$:
$=(1-(e/x))/(x*ln(e/x))$
Poni $x-e =t, t->0$:
$=t/ln(e/(e+t)) = - t/(ln((e+t)/e)) = - t/(ln(1+t/e)) =-e (t/e)/(ln(1+(t/e))$ $ ->$$ -e$
"robbstark":
Ciao.
Per il primo limite puoi usare le note equivalenze:
$(1+x)^alpha = alpha*x +o(x), x->0$
$senh x = x +o(x), x->0$
Gli amati "sviluppini"
"robbstark":
Ciao.
Per il primo limite puoi usare le note equivalenze:
$(1+x)^alpha = alpha*x +o(x), x->0$
$senh x = x +o(x), x->0$
Per il secondo puoi procedere così:
$(x-e)/(1-lnx) =(x-e)/(ln(e/x))$
Dividi numeratore e denominatore per $x$:
$=(1-(e/x))/(x*ln(e/x))$
Poni $x-e =t, t->0$:
$=t/ln(e/(e+t)) = - t/(ln((e+t)/e)) = - t/(ln(1+t/e)) =-e (t/e)/(ln(1+(t/e))$ $ ->$$ -e$
Ciao robbstark, grazie per l'aiuto, il secondo limite l'ho capito ora. Mentre non capisco il simbolo o(x) che utilizzi per il primo limite.
E' per caso un particolare tipo di sviluppo asintotico?
$o(x)$ sta per "o" piccolo di x, ed ingloba tutti i termini polinomiali di grado superiore al primo.
"K.Lomax":
$o(x)$ sta per "o" piccolo di x, ed ingloba tutti i termini polinomiali di grado superiore al primo.
Dimentichi che li ingloba Brutalmente
Ah ok grazie.
Ne avrei un altro che proprio non riesco a scomporre ne a usare gli asintotici:
$lim(x->$infinito$) di ((x^3+3x-5)/(x^3+1))^(2x)$
Ne avrei un altro che proprio non riesco a scomporre ne a usare gli asintotici:
$lim(x->$infinito$) di ((x^3+3x-5)/(x^3+1))^(2x)$
Ah dimenticavo che si tratta del limite di una successione. Nessuno ha qualche idea?!
Possibile che sia così difficile che a nessuno viene in mente nulla?!
Questo limite può essere risolto cercando di fare comparire il numero di nepero:
$lim_(x->+infty) ((x^3 +3x-5)/(x^3 +1))^(2x) =lim_(x->+infty) [(1+ (3x-6)/(x^3 +1))^((x^3 +1)/(3x-6))]^(2x* (3x-6)/(x^3 +1)) = lim_(x->+infty) e^(2x* (3x-6)/(x^3 +1)) =1$
Se lo calcoli a $-infty$, segui un procedimento analogo, e ottieni lo stesso risultato.
$lim_(x->+infty) ((x^3 +3x-5)/(x^3 +1))^(2x) =lim_(x->+infty) [(1+ (3x-6)/(x^3 +1))^((x^3 +1)/(3x-6))]^(2x* (3x-6)/(x^3 +1)) = lim_(x->+infty) e^(2x* (3x-6)/(x^3 +1)) =1$
Se lo calcoli a $-infty$, segui un procedimento analogo, e ottieni lo stesso risultato.
AH ottima idea, non ci avevo pensato! grazie mille robbstark!
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